Формулы прямоугольников

Заменим кривую ломаной, расположенной выше её (рисунок). Тогда определённый интеграл будет приблизительно равен площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников:

.

Здесь - значения подынтегральной функции в правых концах отрезков разбиения.

Если же кривую заменить ломаной, расположенной ниже её, то получится формула:

.

Здесь - значения подынтегральной функции в левых концах отрезков разбиения. Формулы (1) и (2) называют формулами прямоугольников.

Оценка погрешности данного метода приближённого вычисления определённого интеграла находится по формуле:

(3),

где - наибольшее значение первой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Пример 1. Вычислить по одной (на выбор) из формул прямоугольников интеграл , разбив отрезок интегрирования на 10 частей. Оценить ошибку вычислений и сравнить полученное значение с точным значением, вычисленным с помощью микрокалькулятора (1,718281).

Решение.

Вычислим значения подынтегральной функции в точках деления и соответствующие значения занесём в таблицу:

Воспользуемся формулой (1):

.

Оценим ошибку вычисления. Имеем: . Подставляя в формулу (3), получаем . Действительно, сравнивая полученное значение с точным значением, получаем . Это весьма значительная ошибка.

Замечание. Во многих случаях формулы (1) и (2) дают приближённые значения определённого интеграла одна – с избытком, а вторая – с недостатком. Поэтому более точное значение можно получить, найдя среднее арифметическое результатов применения обеих формул.

13Численное интегрирование. Метод трапеций: суть метода, формулы,