Итак, пусть на введена сетка функция задана своими значениями в узлах сетки

Сплайном, соответствующим данной функции и данным узлом сетки называется функция , удовлетворяющая следующим условиям:

На каждом частичном отрезке функция является многочленом 3 степени.

Функция а так же её 1и 2 производная непрерывны на.

3) Функция удовлетворяет условиям интерполяции

На каждом из отрезков ищем в виде многочлена 3 степени:

;

где - коэффициенты, подлежащие определению. Поясним смысл введенных коэффициентов для этого вычислим производные этого многочлена:

поэтому

Из условий интерполяции получаем, что.

Функция непрерывна на поэтому

отсюда получаем уравнение:

Условия непрерывности первой производной

Приводят к уравнениям.

Из условий непрерывности второй производной получаем уравнения: