Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод половинного деления: суть метода, формулы, достоинства и недостатки, примеры

Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.

Такой метод можно применять, если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие (1).

Разделим отрезок пополам точкой , которая будет приближённым значением корня .

Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.

Из отрезков и выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).

В нашем случае это отрезок , где .

Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность . Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства .

Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).

Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.

Пример. Решить уравнение методом половинного деления с точностью до 0,001.

Решение. Известен отрезок изоляции корня и заданная точность . По уравнению составим функцию .

,.

Проверим выполнение неравенства (1): - условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.

Найдём середину отрезка и вычислим значение функции в полученной точке:

, .

Среди значений и выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это и . Следовательно, из отрезков и выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:

, , , - заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, , , .

, - заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня .

Ответ: корень уравнения с точностью до 0,001.