Свойства сопряженных операторов

1°.

2°. Следует из того, что и утверждения 1.

3°.

4°.

5°.

Доказательство: самостоятельно.

Утверждение 2. Если подпространство инвариантно относительно , ортогональное к нему дополнение инвариантно относительно

Доказательство:

инвариантно относительно

Пусть . ■

Утверждение 3. Характеристический многочлен сопряженного преобразования совпадает с характеристическим многочленом самого линейного преобразования.

Доказательство:

, т.к.

2º. Самосопряженные преобразования.

Определение 2. Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженным или симметрическим, если

Утверждение 4. Преобразование является самосопряженным его матрица в любом ортонормированном базисе симметрическая (т.е. удовлетворяет условию ).

Теорема 1. Характеристические числа самосопряженного линейного оператора вещественны.

Доказательство:

Пусть – собственное значение самосопряженного линейного оператора , т.е. . Для вещественной матрицы имеет наряду с корень . Покажем, что – соответствующий собственный вектор. Действительно, . Покажем далее, что

Имеем выполняя транспонирование

(*)

(**)

Вычитая (*)–(**), имеем: . Т.к. – вещественное число ■

Следствие. Если – симметричная матрица, то все корни уравнения – вещественные.

Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного преобразования , принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство:

Пусть и Тогда и ■

Теорема 3. Если – инвариантное подпространство относительно самосопряженного преобразования , то его ортогональное дополнение – тоже инвариантное подпространство.

Доказательство:

Пусть , т.е. . Пусть , т.е. . ■

Теорема 4. Пусть – самосопряженное линейное преобразование в . Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов.

Доказательство:

Методом математической индукции по числу измерений . Очевидно, т.к. – собственный для искомый базис – вектор длины 1.

Пусть для верно. Докажем для . По теореме 1 хотя бы одно собственное значение хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство . Пусть – единичный вектор в нем. По теореме 3 ортогональное дополнение – инвариантное подпространство размерности .

Пусть – сужение на ( = ). Тогда – самосопряженный на , т.к. выполнено для . Более того, если – собственный вектор для , то он собственный для .

По предположению индукции в – мерный ортонормированный базис из собственных векторов для – ортонормированный базис из E ( вектору , а они ортогональны по предположению индукции). ■

Следствие. Если – симметрическая матрица, то ортогональная матрица – диагональная матрица.

Доказательство:

Следует из того, что в базисе собственных векторов матрица принимает диагональный вид. ■

Для построения такого базиса находят собственные вектора. Если собственные вектора принадлежат разным собственным значениям, то по теореме 2 они ортогональны, если – кратный корень, то полученные собственные вектора нужно ортогонализовать и нормировать.