Глава 2. Практическое применение регрессионного анализа в эконометрике

Задача 1
По территории региона приводятся данные за 2007 (табл. 2.1).

Решение: для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 2.2)

b=xy-y*x/∑x²-(x)²=(13484-85,6*155,8)/(7492,3-85,6²)=151,8/164,94=0,92

a=y-b*x=155,8-0,92*85,6=77,0

Получено уравнение регрессии: у=77,0+0,92*х.

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 рубль среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 рубля.

Задача 2
По семи территориям Уральского района за 2008 г. Известны значения двух признаков (табл. 2.3).

Определить:

1.
Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

А. линейной, ценить ее через F-критерий Фишера.

Б. степенной

Решение:

1.А. Для расчета параметров а и b линейной регрессии ŷ_x=а+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно а и b:

n*a+b∑x=∑y,

a∑x+b∑x²=∑y*x.

По исходным данным рассчитываем: ∑x, ∑y, ∑x², ∑y*x, ∑y². (Табл. 2.4)

b= yx-y*x/ σ_x²=(3166,05-57,89*54,9)/(5,86)²=-0,35;

a=y-b*x=57,89+0,35*54,9=76,88.

Уравнение регрессии: ŷ=76,8-0,35*х

С увеличением среднедневной заработной платы на 1 рубль доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35%-ных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy=b*σ_x /σ_y=-0,35*5,86/5,74=-0,357.

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

r²_xy=(-0,35)²=0,127.

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора х.

Рассчитаем F-критерий:

F_факт= r²_xy*(n-2)/(1- r²_xy)=0,127*5/0,873=0,7.

Поскольку 1≤F≤∞, следует рассмотреть F^-1.

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу Н₀ о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

1.Б. построению степенной модели ŷ_x=а*x^b предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y=lg a + b*lg x;

Y = C + b*X, где

Y = lg y, X = lg x, С = lg a.

Для расчетов построим таблицу (табл. 2.5)

Рассчитаем С и b:

b=(YX-Y*X)/ σ²_X=3,0572-1,7605*1,7370/0,0484²=-0,298;

C=Y-b*X=1,7605+0,298*1,7370=2,278.

Получим линейное уравнение: Ŷ=2,278-0,298*Х.

Выполнив его потенцирование, получим:

ŷ=10^2,278*х^-0,298=189,7* х^-0,298.

Задача 3

Руководство предприятия заметило, что годовой товарооборот зависит не только от торговой площади магазина (см. пример 2.1), но и от среднего числа посетителей. Соответствующая информация представлена в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Решение. Обозначим — среднее число посетителей -го магазина в день, тыс. чел.

Для определения формы функциональной зависимости между переменными и построим диаграмму рассеяния (рис. 2.2).

На основании диаграммы рассеяния можно сделать вывод о позитивной зависимости годового товарооборота от среднего числа посетителей в день (т.е. у будет расти с ростом ). Форма функциональной зависимости — линейная.

Рис. 2.2. Диаграмма рассеяния для примера 2.2

Таблица 2.4

В целом необходимо определить параметры двухфакторной эконометрической модели

у_t= a₀+ a₁х_1t+ a₂х_2t+ ε_t

Информация, требующаяся для дальнейших расчетов, представлена в табл. 2.4.

Оценим параметры линейной двухфакторной эконометрической модели с помощью метода наименьших квадратов.

Таким образом,

Оценка коэффициента =61,6583 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением торговой площади на 1 тыс. м² годовой товарооборот увеличится в среднем на 61,6583 млн руб.

Оценка коэффициента = 2,2748 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением среднего числа посетителей на 1 тыс. чел. в день годовой товарооборот увеличится в среднем на 2,2748 млн руб.

Выводы:

В практических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (описать приблизительно) зависимость между переменными величинами у и х. Ее можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии.

Показатели регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение средней величины признака у при изменении значений x_i признака х, и, наоборот, показывают изменение средней величины признака х по измененным значениям y_i признака у.

Форма связи между показателями может быть разнообразной. И поэтому задача состоит в том, чтобы любую форму корреляционной связи выразить уравнением определенной функции (линейной, параболической и т.д.), что позволяет получать нужную информацию о корреляции между переменными величинами у и х, предвидеть возможные изменения признака у на основе известных изменений х, связанного с у корреляционно.
Заключение:

В настоящее время регрессионный анализ используется как в естественнонаучных исследованиях, так и в обществоведении.

В практических исследованиях возникает необходимость аппроксимировать (описать приблизительно) зависимость между переменными величинами у и х. Ее можно выразить аналитически с помощью формул и уравнений и графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Для выражения регрессии служат эмпирические и теоретические ряды, их графики — линии регрессии, а также корреляционные уравнения (уравнения регрессии) и коэффициент линейной регрессии.

Показатели регрессии выражают корреляционную связь двусторонне, учитывая изменение средней величины признака у при изменении значений x_i признака х, и, наоборот, показывают изменение средней величины признака х по измененным значениям y_i признака у.

Форма связи между показателями может быть разнообразной. И поэтому задача состоит в том, чтобы любую форму корреляционной связи выразить уравнением определенной функции (линейной, параболической и т.д.), что позволяет получать нужную информацию о корреляции между переменными величинами у и х, предвидеть возможные изменения признака у на основе известных изменений х, связанного с у корреляционно.

Уравнение регрессии позволяет найти значение зависимой переменной, если величина независимой или независимых переменных известна.

Практически, речь идет о том, чтобы, анализируя множество точек на графике (т.е. множество статистических данных), найти линию, по возможности точно отражающую заключенную в этом множестве закономерность (тренд, тенденцию), линию регрессии.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значений зависимой переменной.

Решение задач основывается на анализе соответствующих параметров (статистических данных) в которых всегда неизбежно присутствуют отклонения, вызванные случайными ошибками. Поэтому существуют специальные методы оценки как уравнения регрессии в целом, так и отдельных ее параметров.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Оценки параметров линейной регрессии могут быть найдены разными методами. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии путем подстановки в него соответствующего значения х определяется предсказываемое значение. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки ŷ_x, то есть m_ŷx, и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения (у^*).

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров. Оценка значимости уравнения регрессии в целом дается с помощью F-критерия Фишера.