Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры решения задач. Задача 1. Дано: N1 = 500 кН, N2 = 700 кН, N3 = 1200 кН; а1 = 4 м, а2 = 2 м, z = 4 мЗадача 1. Дано: N 1 = 500 кН, N 2 = 700 кН, N 3 = 1200 кН; а 1 = 4 м, а 2 = 2 м, z = 4 м. Построить эпюры напряжений по сечениям I-I и II-II. Начертим схему приложения нагрузок (рис. 1). Рис. 1. Схема действия нагрузок и эпюры напряжений
Решение. При приложении к горизонтальной поверхности массива грунта нескольких сосредоточенных сил N 1, N 2 и N 3 значения вертикальных составляющих напряжений s z,i в любой точке массива определяются суммированием напряжений от действия каждой силы в отдельности по формуле , (1) где ki – коэффициент, являющийся функцией отношения и принимаемый по прил. 1; ri - расстояние по горизонтальной оси от рассматриваемой точки до вертикальной линии, проходящей по действию приложенных сил N 1, N 2 и N 3; zi – глубина рассматриваемой точки от горизонтальной плоскости приложения сосредоточенной силы Ni. Вычислим напряжения s z по сечению I-I. Для этого сечения значения ri постоянные, т.е. r 1 = 4 м, r 2 = 0 м, r 3 = 2 м, изменяются только значения zi для каждой точки. Обозначим эти точки 1, 2, 3 и 4. Определим значение напряжения для первой точки. Выражение (1) запишется следующим образом: z 1 = 1 м. Вычислим значения коэффициентов k 1, k 2, k 3. Из прил. 1 при k 1 = 0,004. Точно также вычислим значения остальных коэффициентов при k 1 = 0,4775; при k 1 = 0,0085. Точно также вычислим s z для остальных точек по сечению I-I. где k 1 = 0,0085 при k 2 = 0,4775 при k 3 = = 0,0844 при где k 1 = 0,0844 при k 2 = 0,4775 при k 3 = 0,2733 при где k 1 = 0,0251 при k 2 = 0,4775 при k 3 = = 0,3670 (при интерполяции) при По этим данным строим эпюру напряжений в сечение I-I в масштабе 100 кПа в 1 см. Вычислим величины напряжений s z по линии II-II по точкам 5, 6, 7, 8 и 9. Для этого сечения z = 3 м, а изменяются значения r1, r2 и r3. где k 1 = 0,3670 при k 2 = 0,0844 при k 3 = 0,0085 при где k 1 = 0,0844 при k 2 = 0,3670 при k 3 = = 0,0844 при где k 1 = 0,0374 при k 2 = 0,4775 при k 3 = = 1889 при где k 1 = 0,0171 при k 2 = 0,3687 при k 3 = 0,0844 при где k 1 = 0,4775 при k 2=0,0844 при k 3 = 0085 при Строим эпюру напряжений по линии II-II в масштабе 50 кПа в 1 см.
Задача 2. Определить и построить эпюры вертикальных напряжений s z от совместного действия внешних нагрузок, приложенных к двум фундаментам. Сечения, по которым строят эпюры напряжений, проходят через точки М 1, М 2 и М 3, которые расположены на фундаменте Ф1. расстояние между осями площади подошвы фундаментов равно 3 м. Точки по вертикали от поверхности на расстоянии 1, 2, 4 и 6 м. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов представлены на рис. 2.
Рис. 2. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов Ф1 и Ф2
Решение. Распределение по глубине вертикальных напряжений s zс от действия равномерно распределенной нагрузки в пределах или за пределами площади подошвы фундаментов в любой точке массива можно определить по методу угловых точек по формуле , (2) где - коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон площади подошвы фундамента ( и - соответственно ширина и длина подошвы фундамента) и отношения ( - глубина, на которой определяется s zс); - интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Значения приведены в табл. 2. Если рассматриваемая вертикаль проходит через центр тяжести прямоугольника, то вертикальные напряжения определяются по формуле где - коэффициент, определяемый из табл. 2, но в зависимости от отношений и . Рассмотрим случай, когда вертикальная плоскость проходит через точку М 1 . Определяется вертикальное напряжение сначала для фундамента Ф1 в точке М 1, а затем в этой же точке для влияющего фундамента Ф2. Ф1 разбиваем на два прямоугольника М 1 ABC и M 1 CM 3 D. Все геометрические размеры определены из схемы и графиков. Если точка М 1 расположена на контуре прямоугольника, то вертикальное напряжение определяется по формуле , где - коэффициенты, принимаемые соответственно для прямоугольников М 1 ABC и M 1 CM 3 D по табл. 2. Размеры этих прямоугольников с глубиной не изменяются. Изменяется только значение z. Так как прямоугольники равные, то и = На вертикали, проходящей через М 1, расположены точки на глубинах 1, 2, 4 и 6 м. Для этих точек вычислим значения напряжений s zс и обозначим эти точки также 1, 2, 4 и 6. Точка 1: , где = 400 кПа. Значение принимаем по табл. 2, где - наименьшая сторона прямоугольника. z = 1 м, b = 3 м, l = 4 м; Значение принимается по столбцу Так как ни одно значение приведенных соотношений не совпадает с табличным, то приходится интерполировать. Для точки 1: = 0,980, кПа. Точка 2: определяется так же, как и . z = 2 м, b = 3 м, l = 4 м. кПа. Как видно, при определении изменяется только отношение . Точка 4: вычисления аналогичные. кПа. Точка 6: вычисления аналогичные. кПа. Точка М 1: вычисления аналогичные. Вычислим дополнительные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого построим дополнительные прямоугольники М 1 А¢FK и M 1 KLD ¢ так, чтобы точка М 1 была для этих прямоугольников угловой (b = 1,8 м, l = 7,2 м). Эти прямоугольники равные. Нагрузим их р 2. Нагрузка действует только в пределах Ф2, поэтому вычтем влияние прямоугольников M 1 A¢OC¢ и M 1 D¢NC¢ (b = 1,8 м, l = 14,8 м). Эти прямоугольники также равны. Величина вертикального напряжения от влияния фундамента Ф2 определяется по формуле , где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М 1 А¢FK и M 1 KLD ¢ по табл. 2; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M 1 A¢OC¢ и M 1 D¢NC¢; - равномерно распределенная нагрузка по подошве фундамента Ф2, равная 300 кПа. Коэффициенты определяются так же, как и в вышеприведенном случае. Точка М 1: z = 0. = = 1; = = 1. Точка 1: z = 1 м. = = = = кПа. Точка 2: z = 2 м. = = кПа. Точка 4: z = 4 м. = = кПа.
Точка 6: z = 6 м. = (3,33; 4) = 0,311. = кПа. Строим эпюру напряжений в вертикальном сечении, проведенном через точку М 1, по следующим данным (см. рис. 3): Точка 0: s zс = 200 + 0 = 200 кПа. Точка 1: s zс = 196 + 0,45 = 196,45 кПа. Точка 2: s zс = 175 + 0,6 = 174,6 кПа. Точка 4: s zс = 123,8 + 4,05 = 127,85 кПа. Точка 6: s zс = 80 + 4,65 = 84,65 кПа. Построим эпюру напряжений s z по сечению, проведенному через точку М 2. Сначала построим эпюру напряжений s z, возникающих под фундаментов Ф1. В этом случае вертикальные напряжения вычисляются по формуле , где - коэффициент, зависящий от соотношений и (b – наименьший размер подошвы фундамента, l - наибольший размер подошвы фундамента) и принимаемый по табл. 2. Точка М 2: z = 0. кПа. Точка 1: z = 1 м. По табл. 2 при k = 1. кПа. Точка 2: z = 2 м. По табл. 2 при k = 0,765. кПа. Точка 4: z = 4 м. k = 0,414. кПа. Точка 6: z = 6 м. k = 0,235. кПа. Вычислим вертикальные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого строим дополнительные прямоугольники так, чтобы в каждый прямоугольник входила точка М 2: М 2 А¢¢FK и M 2 KLD ¢¢ (b = 1,8 м, l = 5,2 м). Эти прямоугольники загрузим нагрузкой . Вычислим для этих площадей загрузки коэффициенты и Из суммы этих коэффициентов вычтем коэффициенты и , определенных по прямоугольникам М 2 А¢¢ОС и M 2 CND ¢¢ (b = 1,8 м, l = 2,8 м), как прямоугольников, незагруженных нагрузкой . Общая формула для определения напряжений , где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М 2 А¢¢FK и M 2 КLD ¢ и равные между собой; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M 2 A¢¢OC¢ и M 2 C¢ND¢¢ и равные между собой. Точка М 2: z = 0. Точка 1: z = 1 м. = = = = 0,978 по = = = = 0,926 по кПа. Точка 2: z = 2 м. = = = = 0,778 по = = = = 0,719 по кПа. Точка 4: z = 4 м. = = = = 0,485 по = = = = 0,356 по кПа. Точка 6: z = 6 м. = = = = 0,315 по = = = = 0,198 по кПа. Таким образом, суммарные вертикальные напряжения, вычисленные по сечению, проведенному через точку М 2, составляют, кПа: Точка 0: s zс = s z, 0 + s zс, 0 = 400 + 0 = 400. Точка 1: s zс = s z, 1 + s zс, 1 = 376,5 + 7,8 = 384,2. Точка 2: s zс = s z, 2 + s zс, 2 = 306 + 8,85 = 314,85. Точка 4: s zс = s z, 4 + s zс, 4 = 165,6 + 18 = 183,6. Точка 6: s zс = s z, 6 + s zс, 6 = 94 + 17,55 = 111,55. Построим эпюру напряжений s z по сечению, проведенному через точку М 3.
Порядок построения и расчета. Сначала вычислим вертикальные сжимающие напряжения по вертикали, проведенной через точку М 3 для фундамента Ф1. Величины напряжений определяются по формуле (2), где - интенсивность давления на фундамент Ф1. Длина подошвы фундамента l = 6 м, ширина b = 4 м. Точка М 3: z = 0. kс ,0 = 1. кПа. Точка 1: z = 1 м. kс ,1 = 0,982 по = 1,4. кПа. Точка 2: z = 2 м. kс ,2 = 0,941 по = 1,4. кПа. Точка 4: z = 4 м. kс ,4 = 0,765 по = 1,4. кПа. Точка 6: z = 6 м. kс ,6 = 0,569 по = 1,4. кПа. По этим же точкам вычислим вертикальные напряжения s z от действия фундамента Ф2. Для этого построим прямоугольники, включающие точку М 3: М 3 А¢¢¢FP - загрузим давлением , M 3 A¢¢¢P ¢ - этот прямоугольник фактически не загружен, поэтому мы его вычитаем из прямоугольника М 3 А¢¢¢FP; М 3 D¢¢¢LP - тоже не загружен; М 3 D¢¢¢NP¢ - не загружен, но дважды учтен, поэтому он загружен. Общая формула для определения напряжений имеет вид , где - коэффициент, принимаемый по табл. 2 в зависимости от отношений (b - наименьший размер прямоугольника М 3 А¢¢¢FP, равный 3,2 м) и (l - наибольший размер прямоугольника М 3 А¢¢¢FP, равный 4,8 м); и - коэффициенты соответственно для прямоугольников М 3 А¢¢¢ОP (b = 0,8 м; l = 4,8 м), М 3 D¢¢¢LP (b = 1,2 м; l = 3,2 м), М 3 D¢¢¢NP¢ (b = 0,8 м; l = 1,2 м), принимаемые по табл. 2.
Точка М 3: z = 0. = 1. = 1. = 1. = 1. кПа.
Точка 1: z = 1 м. = 0,916 при = 1,4. = 0,740 при = 5. = 0,729 при = 2,4. = 0,663 при = 1,4. кПа.
Точка 2: z = 2 м. = 0,902 при = 1,4. = 0,455 при = 5. = 0,729 при = 2,4. = 0,309 при = 1,4. кПа.
Точка 4: z = 4 м. = 0,663 при = 1,4. = 0,219 при = 5. = 0,280 при = 2,4. = 0,096 при = 1,4. кПа.
Точка 6: z = 6 м. = 0,452 при = 1,4. = 0,116 при = 5. = 0,151 при = 2,4. = 0,045 при = 1,4. кПа. Суммарные напряжения по сечению, проведенному через М 3 составляют, кПа: Точка 0: s z, 0 =s zс, 0 + s¢ zс, 0 = 100 + 0 = 100. Точка 1: s z, 1 =s zс, 1 + s¢ zс, 1 = 98,2 + 12 = 110,2. Точка 2: s z, 2 =s zс, 2 + s¢ zс, 2 = 94,1 + 48,90 = 143. Точка 4: s z, 4 =s zс, 4 + s¢ zс, 4 = 76,5 +18,9 = 95,4. Точка 6: s z, 6 =s zс, 6 + s¢ zс, 6 = 56,9 +10,5 = 67,4. Строим эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точки М 1, М 2 и М 3 (рис. 3). а б в
Рис. 3. Эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точку: а - М 1; б - М 2; в - М 3.
Как видно из приведенных эпюр вертикальных напряжений, наибольшие значения возникают в сечениях, проведенных через центральные точки площади подошвы фундаментов. Поэтому в механике грунтов принято определять осадки фундаментов по этим величинам.
Задача 3. Рассчитать осадку ленточного фундамента методом послойного суммирования по данным, приведенным в табл. 4. Таблица 4
Расчетная схема приведена на рис. 4. Рис. 4. Геометрические размеры фундамента и физические свойства грунтов
Осадка фундамента методом послойного суммирования определяется по формуле где 0,8 - постоянный коэффициент; s zp i – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i -м слое грунта, равное полусумме указанных напряжений на верхней zi- 1 и нижней zi границах слоя по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента; hi и Ei – соответственно толщина и модуль деформации i -го слоя. Дополнительное напряжение σ zp определяется по формуле
σ zp = a ×p o,
где a - коэффициент, принимаемый по прил. 2, в зависимости от формы подошвы фундамента () и относительной глубины расположения точки (); р о - дополнительное вертикальное давление, равное р о = р - σ zq. o, где р – среднее давление по подошве фундамента; σ zq. o – вертикальное напряжение по подошве фундамента от действия собственной массы грунта σ zq. o = gII × d. Здесь gII – удельный вес грунта выше подошвы фундамента, определяемый с учетом взвешивающего действия воды при расположении уровня грунтовых вод выше подошвы фундамента; d – глубина заложения фундаментов. Построим эпюру напряжений σ zp по формуле. Для этого вычислим дополнительное давление р о. Так как уровень грунтовых вод выше подошвы фундамента, то определение напряжения σ zq. o производим с учетом взвешивающего действия воды. Учет взвешивающего действия воды на величину g1 производится по формуле где заданный удельный вес твердых частиц 1-го слоя; удельный вес воды, равный 10 кН/м3; коэффициент пористости грунта 1-го слоя, равный , где - удельный вес сухого грунта 1-го слоя, определяемый по формуле , где - удельный вес грунта 1-го слоя; - заданная влажность грунтов 1-го слоя. . Взвешивающее действие воды учитывается только ниже уровня грунтовых вод: σ zq. o = 1,6×18 + (1,8 - 1,6)10,16 = 28,8 + 2,03 + 30,83 кПа. = 400 – 30,83 = 369,17 кПа, где 400 кПа = 0,4 МПа. При определении напряжений по прил. 2 приходится много интерполировать значения коэффициентов . Для того чтобы попасть в табличное значение x необходимо элементарные слои разделить на толщину, равную , где b – ширина подошвы фундамента. В нашем случае толщина элементарного слоя равна м. При ленточных фундаментах значение , поэтому значение коэффициента a принимаем по последнему столбцу прил. 2. Фундамент расположен на глубине 1,8 м первого слоя. Напряжения распределяются на толще слоя, равной 4 - 1,8 = 2,2 м. Полных элементарных слоев толщиной 0,48 м - четыре, остаток - 0,28 м (0,48×4 + 0,28 = 2,2 м). Значение a в первом слое изменяется как
Для глубины z = 2,2 м необходимо вычислять значение . ; Для того чтобы попасть в табличное значение, принимаем равным 2,0. Это уже второй слой толщиной 2,40 м. Значение a = 0,550 м. Во втором слое далее толщина слоя 0,48 м. Вычисления произведем в табличной форме (табл. 3.1). Вычисляем напряжения s zq по: а) подошве фундамента: s zq, 0 = 30,83 кПа; б) кровле второго слоя: s zq = 30,83 + 2,2×10,10 = 53,18 кПа; в) водоупору - второй слой является водоупором. Дальше грунт не взвешивается. К значению 53,18 кПа прибавляется масса столба воды, равная кПа. Тогда на водоупоре s zq = 53,18 + 24 = 77,18 кПа. В формуле (3.1) количество слоев должно быть равным, где выполняется условие . Значение 0,2 принимается в том случае, когда модуль деформации грунта в точке пересечения более 5 МПа. У наc E 2 = 12 МПа. Осадка фундамента равна Таким образом, осадка фундамента – 8,7 см.
Список рекомендуемой литературы 1. С.Б. Ухов, В.В. Семенов, В.В. Знаменский и др.Механика грунтов, основания и фундаменты/ М.: АСВ, 2004. 2. Н.А. Цытович. Механика грунтов (краткий курс)/ 4-е изд., М.: Высш. шк., 1983.
|