Цифровые данные для передаточных функций

1)

X_вх X_вых

_{- -}

X_вх X_вых

2)

^- -

X_вх X_вых

3) _{- -}

4) X_вх X_вых

^{- -}

Рис.1. Структурные схемы САУ

X_вх X_вых

5)

^{- +}

X_вх X_вых

6)

^{- -}

X_вх X_вых

7)

^{- -}

X_вх X_вых

8)

- ^-

9) X_вх X_вых

- ^-

Рис.1. Структурные схемы САУ

X_вх X_вых

10)

- ⁺

Рис.1. Структурные схемы САУ

Теоретические сведения

Получение передаточной функции системы по передаточным функциям звеньев

Если имеются уравнения всех звеньев системы, то описанием системы является система этих уравнений, из которой, исключая обычным порядком промежуточные переменные, можно получить одно уравнение высокого порядка, связывающую выходную величину системы с определенной входной величиной, т.е. каким-либо возмущением или задающим воздействием. Однако значительно более просто можно получить описание системы, если оперировать передаточными функциями звеньев, законы преобразования которых приводятся ниже.

1. Передаточная функция последовательно соединенных звеньев (передаточная функция разомкнутой системы).

.

2. Передаточная функция параллельно соединенных звеньев направленного действия

.

3. Звено, охваченное отрицательной обратной связью

.

Функция W_З называется передаточной функцией замкнутой системы.

4. В случае положительной обратной связи передаточная функция принимает вид:

.

5. Если в цепи отрицательной обратной связи имеется звено с передаточной функцией W_О.С.:

.

Пример. Составить передаточную функцию системы:

/

Пусть имеется два усилительных и три инерционных звена:

; ; ; ;

Используя законы преобразования 1 и 5 получим:

.

Введем обозначения:

;

;

;

;

;

.

Подставим эти обозначения в преобразованную передаточную функцию и получим:

.

Для получения разомкнутой передаточной функции системы требуется удалить из схемы САУ главную обратную связь и найти общую передаточную функцию разомкнутой системы без ее учета. Связь между разомкнутой передаточной функцией и замкнутой определяется из следующего выражения:

,

где -передаточная функция разомкнутой системы, - передаточная функция замкнутой системы, - передаточная функция главной обратной связи. Знак «+» ставится при отрицательной обратной связи, а «-» - положительной.

Составление дифференциальных уравнений

Имеется линейное дифференциальное уравнение вида

, (1)

которое определяет линейную модель системы. Отметим, что использовать линейную модель для исследования системы можно только при малых отклонениях переменных и поэтому часто говорят, что результаты исследований, полученных при использовании линейной модели справедливы только в малом.

Уравнение в отклонениях (1) описывает возмущенное движение системы, являющееся результатом действия каких-либо возмущений, приводящих к появлению отклонений от установившегося режима. Уравнение установившегося режима описываетневозмущенное движение.

Сложность решения дифференциальных уравнений высокого порядка без применения вычислительной техники и невозможность на основании численных решений создать общие методы анализа и синтеза систем привели к широкому использованию методов, связанных с применением математического аппарата преобразований Лапласа и Фурье. Эти методы и составили сущность так называемой классической теории автоматического управления. Определение передаточной функции связано с преобразование Лапласа и поэтому вначале приведем некоторые основные сведения из этого преобразования [1,2].

При использовании преобразования Лапласа некоторой функции времени x(t) ставится в однозначное соответствие функция X(p ), где p - оператор Лапласа. Функция времени x(t) называется оригиналом, а функция X(p) ее изображением. Изображение и оригинал связаны соотношением

.

Приведем некоторые теоремы преобразования Лапласа, которые потребуются для выполнения курсовой работы..

1. Теорема линейности. Для любых действительных или комплексных величин

,

где знак Þ означает соответствие изображения оригиналу.

2. Теорема запаздывания. Для любого постоянного t > 0

.

3. Теорема дифференцирования оригинала. Если , то .

Применив эту теорему к производным высших порядков, получим

.

При нулевых начальных условиях предыдущее выражение упрощается

.

4. Теорема интегрирования оригинала. Если и , то .

5. Теорема о начальном значении оригинала.

.

6. Теорема о конечном значении оригинала.

.

Перейдем к определению передаточной функции. Пусть система или какое-либо звено ее описываются дифференциальным уравнением вида (1). Полагая начальные условия нулевыми, перейдем в этом уравнении к изображениям по Лапласу. В соответствии с теоремой 3 получим

.

Вынесем в полученном выражении за скобки изображения переменной и входного воздействия и сделаем обозначения

,

.

С учетом этих обозначений исходное дифференциальное уравнение в изображениях по Лапласу получит вид

.

Определим теперь зависимость выходной величины от входного воздействия

. (2)