Эпюры продольных усилий

Брус, работающий преимущественно на растяжение-сжатие назы­вается стержнем.

Правило: В местах приложения сосредоточенных сил на эпюре получаются "скачки". Размер "скачка" равен приложенной в этом сечении силе. На­правление "скачка" связано с направлением действия силы.

Замечание. Скачкообразные изменения координат N носят условный харак­тер, так как условно и само понятие "сосредоточенная сила". Фактиче­ская внешняя сила распределена по некоторой небольшой части длины бруса; в пределах этой части значения N изменяется по некоторому за­кону, установить который не предоставляется возможным. Не известный криволинейный переходный участок эпюры заменяют условным "скачком". На вопрос: чему равна продольная сила в точке приложения F ₂, ответить прямо нельзя. Можно лишь сказать, что бесконечно близко к точке справа N = + F, а бесконечно близко к точке сверху N = - F.

Рассмотрим следующий пример. Построим эпюру продольных усилий бруса, изображенного на рис. 4. Отличие от предыдущего при­мера - наличие равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = F/а.

Участки остаются те же, но должна быть задана, длинна участков. 1 участок: 0 ≤ x ₁ ≤ 0,5 а:

N ₁= F.

2 участок 0 ≤ x ₂ ≤ а:

N ₂ = F - 2 F - qx ₂.

Это уравнение прямой линии, поэтому для построения эпюры достаточно определить значение N в начале и в конце участка:

При х ₂ = 0 получим N ₂ = - F; при х ₂ = а получим N ₂ = F -2 F –F = -2 F.

Правило: На участке, где действует распределенная нагрузка, на эпюре – наклонная прямая.

3 участок: 0 ≤ x ₂ ≤ 0,5 а: N ₃ = F - 2 F + 4 F – qa = 2 F

4. Эпюры крутящих моменто в

Брус, работающий преимущественно на кручение, называется валом.

Правило знаков. Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности при построении эпюр условимся о следующем правиле знаков.

Будем считать крутящий момент положительным, если при взгляде со стороны сечения, он представляется на­правленным по часовой стрелке (рис. 5).

В соответствии с международными рекомендациями крутя­щие моменты обозначаются: Т_е - внешний крутящий момент ( от torsion external); Т_i -внутренний крутящий момент (от torsion inside). Построим эпюру крутящих моментов для вала, расчетная схема которой изображена на рис. 6, а.

Момент М_о не задан, его можно определить из уравнения равновесия Σ М_х = 0, но рациональнее вести построение эпюры, двигаясь со сво­бодных концов слева, а затем справа. Величину М_о можно будет определить по построенной эпюре без вычислений. Разбиваем вал на 3 участка. Используем метод сечений, рассматри­вая равновесие оставленной части (рис. 6, б, в, г), приходим к выводу, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении вала, должны дать крутящий момент, уравновешивающий внешние моменты, прило­женные к оставленной части.

Проводим произвольные сечения на каждом из 3-х участков и рассматривая равновесие отсеченных частей, получим:

1 участок: М _I = - М ₁ = - М;

2 участок: М _II= - М ₁ + М ₂ = - М + 2 М = М;

3 участок: М _III = М ₃ = З М.

По полученным значениям строим эпюру, представленную на рис. 6, д.

5. Дифференциальные зависимости между ин­тенсивностью распределенной нагрузки, по­перечной силой и изгибающим моментом. Особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Построение эпюр Q и М_изг существенно упрощается при исполь­зовании дифференциальных зависимостей между q, Q, М_изг. Для вывода этих зависимостей выделим из балки двумя поперечными сечениями, расстояние между которыми равно dх, бесконечно малый элемент (рис. 7).

Распределенную нагрузку q направляем вверх, так как это направ­ление считаем положительным.

В общем случае q может быть не равномерной, но из-за малости dх неравномерность не учитывается.

Спроецируем действующие на элемент силы на ось Оу:

Σ Y = 0: Q_у + qdх - (Q_у + dQ_у) = 0; получим:

dQ_y/dx = q.

Производная от поперечной силы по длине балки ровна интенсивности распределенной нагрузки.

Определим сумму моментов относительно точки К;

Σ М_к = 0: М_z + Q_уdх + qdx dx/2 - (М_z + dМ_z) = 0, пренебрегая малыми второго порядка, получим:

dM_z/dx = Q_y.

Производная от изгибающего момента по длине балки равна попе­речной силе.

Из этих зависимостей следует:

d²M_z/dx² = q.

Интенсивность распределенной нагрузки равна второй производной от изгибающего момента по длине балки.

В сложных случаях нагружения балок эпюры Q и М_изг целесооб­разнее строить без записи аналитических выражений Q (х), М_изг (х) по участкам, вычисляя значения Q, М_изг только в характерных точках - это границы участков и лишь в отдельных случаях - промежуточные се­чения. При таком построении используется ряд правил, которые являют­ся следствием из полученных дифференциальных зависимостей:

1. На участках, где нет распределенной нагрузки q:

- эпюра Q - прямая, параллельная базе, т.е. Q = сonst,

- эпюра М_изг - наклонная прямая (рис. 8).

2. На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка q:

- эпюра Q - наклонная прямая,

- эпюра М_изг - парабола (кривая второ­го порядка) с выпуклостью, направленной против направления q (рис. 9).

3. Если на участке:

а) Q > 0, то М_изг возрастает (рис. 8, участки АС и ВЕ);

б) Q < 0, то М_изг убывает (рис. 8, участки СD и DC);

в) Q = 0, то М_изг = сonst (чистый изгиб).

4. Если на эпюре Q наклонная прямая проходит через нулевое значение, то М_изг - в этом сечении имеет экстремальное значение (min или maх) (рис. 9, сечение С).

dM/dx = 0 - признак экстремума - касательная к эпюре параллельна оси.

5. Под сосредоточенной силой:

- на эпюре Q - скачок в направлении дей­ствия силы, равный по величине этой силе (на рис. 8, 9 эти скачки отмечены толстыми линиями со стрелками);

- на эпюре М_изг - излом, острие излома направленно против направления силы (на рис. 8 – сечения C, D и В; на рис. 9 – сечение В).

6. В точках, соответствующих началу и концу участка действия распре­деленной нагрузки, парабола и прямая линия эпюры М_изг сопрягают­ся плавно, если в указанных точках не приложено сосредоточенных сил (рис. 9 – сечение D).

7. В сечениях, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре М_изг будут скачки на величину этих моментов и в направлении, соответ­ствующем знаку момента. На эпюре Q - никаких изменений.

8. На свободном или шарнирно-опертом конце балки М_изг = 0, если там не приложен сосредоточенный момент, а Q равна внешней сосре­доточенной силе (активной или реактивной).

9. В заделках Q и М_изг численно равны опорной реакции и реактивно­му моменту.

10. Q равна тангенсу угла наклона касательной к оси на эпюре М_изг в данном сечении.

11. Изменение величины М_изг на каком-либо участке балки равно пло­щади эпюры Q на этом участке плюс сосредоточенные моменты, дей­ствующие на этом участке.

12. Изменение величины Q на каком-либо участке балки равно площади эпюры q на этом участке.

Проиллюстрируем использование этих правил на примерах, представ­ленных ниже.