Теорема Штейнера

Из определения момента инерции тел в общем виде:

(30)

следует, что эта величина является аддитивной. Это означает, что моменты инерции тел в некоторых случаях можно найти интегрированием исходя из геометрических соображений.

В качестве примера найдём момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d << l относительно оси проходящей через его центр масс перпендикулярно к стержню (Рис. 4). Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины d x.

Масса этого элемента dm = r×S×d x, где r – плотность материала, S – площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm:

() Учитывая, что элементы массы dm попарно симметричны относитель-

но оси вращения 00^', проинтегрируем левую часть () в пределах от 0 до J, а правую в пределах от 0 до l /2. Получим:

()

Т.к. – масса стержня, то окончательно для тонкого стержня

(33)

Определим момент инерции диск или цилиндра радиусом R, высотой h и массой m относительно его геометрической оси, параллельной образующей. Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя

.

Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:

но ,

(36)

Без выводов запишем:

а) шар радиусом R и массой m, относительно оси, проходящей через его центр – (31)

б) полый тонкостенный цилиндр радиусом R и массой m, относительно его геометрической оси, параллельной образующей –

(32)

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела – J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела –

, (33)

где J₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d – расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,

то (34)

В качестве примера Определим момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d<< l. Относительно оси к перпендикулярной

а) тонкий однородный стержень.

к стержню и проходящей через его центр масс.

Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины d x.

Масса этого элемента dm = r×S×d x, где r-плотность материала,

S-площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm

Интегрируем левую и правую части в пределах от 0 до J и правую от 0 до l /2. Учитывая, что элементы попарно симметричны, получим:

Т.к. , то окончательно (33)

б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m.

Определим момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси, параллельной образующей.

Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя

.

Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:

но ,

(36)

Без выводов запишем:

а) тонкий однородный стержень –

(31)

б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -

(32)

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела

, (33)

где J₀ – момент инерции тела относительно оси через центр масс, d - расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,

то (34)

В качестве примера найдём момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d<< l. Относительно оси к перпендикулярной

а) тонкий однородный стержень.

к стержню и проходящей через его центр масс.

Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины d x.

Масса этого элемента dm = r×S×d x, где r-плотность материала,

S-площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm

Интегрируем левую и правую части в пределах от 0 до J и правую от 0 до l /2. Учитывая, что элементы попарно симметричны, получим:

Т.к. , то окончательно (33)

б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m.

Определим момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси, параллельной образующей.

Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя

.

Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:

но ,

(36)

Без выводов запишем:

а) тонкий однородный стержень –

(31)

б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -

(32)

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела

, (33)

где J₀ – момент инерции тела относительно оси через центр масс, d - расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,

то (34)

Без выводов запишем:

а) тонкий однородный стержень – ДОПОЛНИТЬ ВЫВОДОМ

(31)

б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -

(32)

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела