ЛЕКЦИЯ №49

Рассчитаем вектор-потенциал внутри проводника (). Так как по проводнику протекает ток, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Пуассона .

Вектор-потенциал образует плоско параллельное поле, изменяющееся только по радиусу. Поэтому в цилиндрической системе координат уравнение Пуассона запишется

(17.20)

Проинтегрировав его, получим

(17.22)

Так как поблизости нет другого поля, то постоянную интегрирования C ₁ можно приравнять к нулю. Тогда

.

В свою очередь,

(17.23)

При r = 0 , следовательно, и .

Проинтегрировав уравнение (17.21)*, получим

(17.24)

Если принять, что на поверхности проводника A ₁ = 0, то постоянная интегрирования C ₂ будет равна

Тогда

(17.25)

Так как за пределами проводника тока нет, то вектор-потенциал подчиняется уравнению Лапласа .

Используя то же допущение о плоско параллельном поле, получим

(17.26)

На поверхности провода по закону полного тока

(17.27)

Следовательно,

(17.28)

(17.29)

Из условия непрерывности вектора-потенциала следует, что при A ₂ = A ₁ = 0.

(17.30)

Тогда

(17.31)

Выделим в толще проводника элементарную площадку, нормаль к которой параллельна вектору напряженности (рис. 17.7).

Рис. 17.7. К расчету вектора-потенциала магнитного поля

одиночного проводника с током

По теореме Стокса

(17.32)

Этот интеграл распадается на 4 составляющие

На участках 2-3 и 4-1 векторы и перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю.

Индуктивность, обусловленная магнитным потоком внутри проводника

(17.33)

В свою очередь,

(17.34)

Тогда

; (17.35)

. (17.36)

За пределами проводника ()

(17.37)