Этап 2. Формулировка гипотез, построение, исследование модели

Динамика изменения величины капитала определяется в нашей модели простыми процессами производства и описывается так называемыми обобщенными коэффициентами амортизации (расхода фондов) и потока инвестиций (часть конечного продукта, используемого в единицу времени для создания основных фондов). Эти коэффициенты - относительные величины (оцениваются за единицу времени). Необходимо разработать и исследовать модель динамики основных фондов. Считаем при этом допустимость определенных гипотез, определяющих систему производства.

Пусть x(t) - величина основных фондов (капитала) в момент времени t, где 0 t N. Через промежуток времени Δt она будет равна x(t + Δt). Абсолютный прирост равен Δx = x(t + Δt) - x(t). Относительный прирост будет равен x = [x(t + Δt) - x(t)] / Δt.

Примем следующие гипотезы:

1. Cоциально - экономические условия производства достаточно хорошие и способствуют росту производства, а поток инвестиций задается в виде известной функции y(t).

2. Коэффициент амортизации фондов считается неизменным и равным m, и при достаточно малом значении Δt, изменение основных фондов прямо пропорционально текущей величине капитала, т.е.

dx = y(t) - mx(t).

Считая Δt 0 и учитывая определение производной, получим из предыдущего соотношения математическое выражение закона изменения величины капитала, т.е. математическую модель (дифференциальное уравнение) динамики капитала:

где х(0) - начальное значение капитала в момент времени t = 0.

Эта простейшая модель не отражает важного факта: социально-экономические ресурсы производства таковы, что между выделением инвестиций и их введением и использованием в выпуске новой продукции проходит время Т (лаг). Учитывая это, можно записать модель в виде

Этой непрерывной, дифференциальной, динамической модели можно поставить в соответствие простую дискретную модель:

где n - предельное значение момента времени при моделировании.

Дискретная модель следует из непрерывной при Δt = 1, при замене производной x´(t) на относительное приращение, что справедливо при малых значениях Δt.