Прием сигнала как статистическая задача

Системы и методы передачи дискретных сообщений занимают основное место в современных системах электрической связи, что объясняется не только наличием множества источников дискретных сообщений (данные с выхода ЭВМ, телеграфные источники и др.), но и передачей сообщений непрерывных источников (речь, музыка, телевидение, факсимильная передача и др.) более помехоустойчивыми дискретными цифровыми методами.

Рис. 1. Структурная схема системы передачи информации

На выходе модулятора в изохронных системах передачи происходит преобразование цифрового сигнала b _ц(t), изученного в теме 4, в последовательность u (t) элементарных сигналов несущей f (t-kT,b_k) заданной формы:

u (t)= (1)

где Т - тактовый интервал передачи в канале, определяющий техническую скорость передачи V= 1 /Т, измеряемую в бодах; b_k Î В - множество элементов кода.

Элементарный сигнал f (t-kT,b_k) (1) наиболее простую форму принимает при линейной (многоуровневой) модуляции:

u (t)= (2)

На вход демодулятора при передаче сигнала (2) поступает колебание (сигнал + шум)

z (t)= (3)

где s (t-kT, b_k) - отклик канала на элементарный сигнал f (t - kT, b_k); n (t) - аддитивный шум в канале.

Для упрощения дальнейшего анализа считают, что элементарный сигнал на передаче f (t-kT, b_k) локализован в пределах тактового интервала.

Обозначим анализируемый элемент колебания (сигнал + шум) на входе демодулятора:

z (t) = s (t, b_i) + n (t), t Î[0, T ]

где s (t, b_i) — сигнал, соответствующий символу b_i [1]⁾ , i Î0,…, m-l; n (t) — аддитивный шум на интервале анализа[2]⁾.

На выходе демодулятора возникает дискретный сигнал, т.е. последовательность кодовых символов. Чаще всего элемент длительностью Т непрерывного сигнала преобразуется демодулятором в один кодовый символ (поэлементный приём). Если бы этот кодовый символ всегда совпадал с передаваемым (поступившим на вход модулятора), то связь была бы безошибочной. Но, как известно, помехи приводят к невозможности с абсолютной достоверностью восстановить по принятому сигналу переданный кодовый символ.

Возникает вопрос: как принять решение о том, что в данный момент времени передано именно это сообщение?

Каждый демодулятор описывается законом, по которому поступивший на его вход непрерывный сигнал превращается в кодовый символ. Этот закон называется правилом решения, а реализующая его схема — решающей. Демодуляторы с различными правилами решения будут выдавать, вообще говоря, различные решения, из которых одни верные, а другие — ошибочные.

В любом демодуляторе дискретных сообщений перед непосредственным принятием решения приходящий сигнал подвергается той или иной обработке, целью которой является наилучшее использование различия между реализациями сигналов, соответствующих разным символам, а также отличия сигналов от помех.

На ранних этапах развития техники связи способы обработки сигналов выбирались разработчиками аппаратуры интуитивно, исходя из общих идей о путях выделения сигнала из помехи и различия передаваемых сигналов. Выбором различных видов реализации сигналов s (t, b_i) и способов обработки в ряде случаев удавалось повысить помехоустойчивость системы передачи дискретных сообщений, т.е. увеличить верность оценки передаваемого символа b_i при наличии помех.

Современная статистическая теория связи позволяет отыскать наилучшую операцию обработки входного сигнала z (t), обеспечивающую максимальное качество оценки b_i. При решении данной задачи полагают, что свойства источника сообщения и кодера известны. Кроме того, известен модулятор, т.е. задано, какая реализация элемента сигнала соответствует тому или иному кодовому символу, а также задана математическая модель непрерывного канала. Требуется определить, каков должен быть оптимальный демодулятор (правило решения), чтобы обеспечить наилучшее качество приёма.

Такая задача была впервые поставлена и решена (для гауссовского неискажающего канала с БГШ) В.А. Котельниковым. В этой постановке качество оценивалось вероятностью правильного приёма символа. Максимум этой вероятности при заданном виде модуляции В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум, -идеальным приемником. Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе средняя вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике.

Изучим статистический подход к задаче приёма дискретных сообщений на фоне шумов. Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием т в месте приёма ожидаются сигналы s_i (t), t Î[ 0, Т ], соответствующие кодовым символам b_i (i = 0, 1, 2, 3,..., m -1). В течение отрезка времени [0, Т ][3]⁾ на вход приёмного устройства поступает колебание z (t), которое вследствие искажений и помех в канале не совпадает в точности ни с одним из элементов сигнала на передаче u_i (t). Следовательно, в этом случае приёмное устройство должно выбрать одну из m возможных взаимоисключающих (альтернативных) гипотез: передавался кодовый символ b ₀, т.е. ожидается сигнал s ₀(t); передавался кодовый символ b ₁, т.е. ожидается сигнал s ₁(t); ... передавался кодовый символ b_{m -1}, т.е. ожидается сигнал s_{m- 1}(t). Для двоичной системы (m =2) приёмное устройство выбирает одну из двух альтернативных гипотез о передаче символа 1 или 0.

Совокупность всех возможных реализаций z (t) можно интерпретировать точками в пространстве Z принимаемых финитных сигналов. Обычно оно является бесконечномерным пространством Гильберта или, с некоторыми (приемлемыми для практики) оговорками, многомерным пространством Евклида. Простоты ради, будем графически изображать реализации принимаемых сигналов s_i (t) и помех n (t) (длительностью T) точками на плоскости (рис. 1) или соответствующими векторами на плоскости, откладываемыми от начала координат 0.

Рис.1. Разбиения пространства принимаемых колебаний

на непересекающиеся области

Если правило решения выбрано, то это означает, что каждой точке пространства принимаемых колебаний (концу вектора z = s + n) приписывается одна из m гипотез, т.е. определенный передаваемый кодовый символ b_i. Пространство принимаемых сигналов окажется при этом разбитым на m непересекающихся областей В_i пространства Z, каждая из которых соответствует принятию определённой гипотезы. В такой трактовке различные приёмные устройства отличаются друг от друга способом разбиения пространства сигналов на области В_i, т.е. правилом принятия решения[4]⁾. Возможное разбиение схематически показано на рис. 1.

В двоичной системе пространство Z разбивают на две непересекающиеся области В ₀ и В ₁. Пусть на отрезке [0, T ] принимается колебание

z (t) =s_i (t) + n (t),

где s_i (t) — полезный сигнал в месте приёма, прошедший канал связи, a n (t) - реализация аддитивной помехи.

Если помехи отсутствуют, возможные значения z (t) изображаются точками s_i (i =0, 1, 2,..., т- 1). При наличии помехи и передаче сигнала с номером i точка принимаемого колебания z отклоняется от точки s_i. На рис. 1 это показано для сигналов s ₁(t), s ₂(t) и s_i (t). Область B_i содержит точку s_i. В тех случаях, когда помеха не выводит точку z за пределы области B_i, решение оказывается верным при сигнале s_i (см. область B ₃). В противном случае возникает ошибка. Изменяя границы между областями, можно влиять на вероятность ошибочного приёма отдельных передаваемых символов. Например, если в разбиении, показанном на рис. 1, расширить область B_i. за счёт области B ₃, то уменьшится вероятность ошибочного приёма символа b ₃, вместо передаваемого символа b_i. Однако в этом случае возрастает вероятность ошибочного приёма b_i при передаваемом b ₃. Очевидно, всегда существует такое расположение областей, которое в определённом смысле лучше всякого другого. Здесь, в зависимости от выполняемой задачи конкретным видом сигнала выбирается критерий определения границ областей В_i пространства Z.

Вывод. Задачей приема является выбор из множества гипотез (известных по своим параметрам сигналов) какой-то одной наиболее подходящей, правдоподобной и таким образом принятия решения о том, какое сообщение было передано. Решением такого рода задач занимается математическая статистика. Поэтому задача оптимального приема может рассматриваться как статистическая задача.