Импульсная модуляция. Сущность теоремы Котельникова

Теоретической основой получения цифрового сигнала из непрерывного является теорема Котельникова.

Первичный электрический сигнал чаще всего представляет собой непрерывную функцию от времени. Однако, во многих случаях целесообразно (или необходимо) преобразовать её в дискретный сигнал.

Данное преобразование получают путем замены функции f (t) последовательностью её отсчетов f (t_к), взятых через некоторый интервал времени Dt так, что t_к=k×Dt, где k = 1, N – целые числа.

При такой дискретизации сигналов появляется возможность одновременной передачи нескольких сообщений по одному каналу путем временного уплотнения каналов. То есть в промежутках между отсчетами одного сигнала передачи отсчетов других сигналов. При дискретизации сигналов появляются новые способы борьбы с помехами. Дискретный сигнал поддается кодированию, что облегчает задачу введения информации в ЭВМ и обмена данными между ними.

Дискретизация сигналов во времени должна осуществляться с минимальной потерей информации. Это значит, что дискретные отсчеты непрерывной функции времени должны быть достаточны для обратного преобразования их в такую же (или близкую) функцию времени на приемном конце.

Теорема, как математическое положение обоснования данного преобразования, была установлена давно. В 1928 году теорема была сформулирована (без доказательства) английским ученым Найквистом. В 1948 году американский ученый К. Шеннон при разработке математической теории связи вновь ввел и доказал теорему, назвав её теоремой отсчетов. Однако, в наиболее четкой форме её сформировал, доказал и применил к конкретным проблемам передачи сообщений в 1933 году В.А. Котельников. Поэтому вполне справедливо в отечественной литературе теорему называют теоремой Котельникова. Подобную теорему в англоязычной литературе обычно называют теоремой отсчетов или теоремой Найквиста.

Формулировка теоремы Котельникова может быть дана в следующем виде.

Функция f (t), спектральная плотность которой отлична от нуля в полосе частот 0<f<F_max, в любой момент времени полностью определяется своими значениями, отсчитанными в дискретные моменты времени через интервал

. (23)

Доказательство теоремы состоит в разложении непрерывной функции f(t) с ограниченным спектром в ряд

, (24)

где f(kDt) – значения непрерывной функции в дискретных точках kDt.

Элементарная функция

(25)

представлена на рис. 6, имеет максимум в момент t = kDt равный значению функции в данной точке отсчета и равна нулю в остальных точках отсчета, которые отстоят одна от другой на величину, кратную 1 /Dt.

Рис. 5. Элементарная функция Котельникова

Графическая иллюстрация содержания теоремы Котельникова (рис. 6) может быть сведена к следующему. Пусть дана непрерывная функция (рис. 6 а). Значения функции в дискретных точках отсчета, отстоящих одна от другой на величину , показаны на рис. 6 б.

Элементарная функция Котельникова f ₁(t) имеет в t=t ₁ значение, равное значению первого отсчета, f ₂(t) в t=t ₂ равна значению второго отсчета и так далее (рис. 6 г, д, е). В остальные отсчетные моменты времени эти функции равны нулю. Сумма элементарных функций f_к (t) дает исходную непрерывную функцию f (t) (рис. 6 ж).

Рис. 6. Графическая иллюстрация теоремы Котельникова

Канал связи, в котором передача осуществляется путем взятия дискретных отсчетов непрерывных сообщений (дискретизация) в общем виде может быть представлен моделью, показанной на рис. 7.

Рис. 7. Модель канала связи для передачи непрерывных сообщений методом дискретизации

На вход канала связи подаются непрерывные сообщения. В дискретизаторе осуществляется замена непрерывного сообщения (сигнала) последовательностью значений, отсчитанных в отдельные моменты времени. Эти отсчеты непрерывной функции передаются по линии связи с помощью одного из видов манипуляции. Принимаемые импульсы подаются на фильтр нижних частот. Реакция идеального фильтра нижних частот на содействия короткого прямоугольного импульса с частотой на F ₀ = F_max с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением (25). Таким образом, непрерывное сообщение восстанавливается путем выделения последовательности импульсов, соответствующих его значениям в дискретных точках. Для воспроизведения непрерывного сообщения с возможно большей степенью точности, его значения должны передаваться через ФНЧ, с частотой среза F ₀ = F_в, последовательностью импульсов с предельно малой длительностью, и приниматься фильтрами с характеристиками, близкими к характеристикам идеального ФНЧ. Кроме того, отсчеты должны производиться через интервалы .

Теорема Котельникова обосновывает возможность замены непрерывного сигнала с ограниченным спектром рядом его значений в дискретные моменты времени. Теорема имеет фундаментальное значение в теории связи. В частности, она лежит в основе построения многоканальных систем связи с временным уплотнением и импульсно-кодовой модуляции.

На основе теоремы Котельникова осуществляется передача непрерывных сообщений в цифровой форме.