Стационарность и эргодичность

При передаче информации по каналам связи условия приема в течение длительного времени обычно могут оставаться постоянными. Неизменность этих условий порождают случайные процессы, протекающие однородно во времени, т.е. такие процессы, свойства которых сохраняются и при изменении начала отсчета времени.

В теории случайных процессов строго стационарными (стационарными в узком смысле) называют такие процессы, плотности распределения вероятностей которых не изменяются при произвольном сдвиге во времени начала отсчета. Отсюда следует независимость математического ожидания и дисперсии от сдвига во времени.

Если математическое ожидание и дисперсия не зависят от сдвига во времени, а функция корреляции определяется разностью t = t ₁- t ₂ и не зависит от самих величин t ₁ и t ₂ в отдельности, то данный процесс называется стационарным в широком смысле.

Эргодическими процессами называются процессы, для которых усреднение по времени с вероятностью p =1 совпадает с усреднением по ансамблю реализаций.

Данное свойство имеет важное практическое значение, так как позволяет при изучении статистических свойств процесса не исследовать поведение множества реализаций. Достаточно взять для рассмотрения всего одну реализацию и изучить ее в течение длительного интервала времени.

Функция корреляции эргодического стационарного случайного процесса обладает следующими свойствами:

1. Автокорреляционная функция эргодического процесса симметрична и является четной: B (t) = B (- t).

2. При t = 0 автокорреляционная функция эргодического процесса равна его дисперсии B (t) = B (0) = D { X ₁} и совпадает со средней мощностью процесса.

3. Максимальное значение корреляционной функции достигается при t = 0.

Выводы 1. Эргодическим называется случайный процесс, для которого усреднение по множеству равно усреднению по времени (иногда говорят: «усреднение по вертикали равно усреднению по горизонтали»).

2. Эргодический процесс всегда стационарен.

Заключение

Рассмотренные в лекции методы статистического описания сигналов и помех, как случайных процессов, будут использованы в дальнейшем для описания информационных характеристик систем передачи сообщений в реальных каналах связи.

Разработал:

Доктор военных наук, профессор

А. Привалов

«» __________ 2010 года

[1] Случайный характер принимаемых сигналов связан также с искажения­ми и помехами, которые возникают при многолучевом распространении.

[2] apriori (лат.) — заранее, прежде чем.

[3] Дискретная случайная последовательность часто служит аппроксимацией непрерывного случайного процесса и значительно облегчает исследования.

[4] Индекс 1 означает, что данная функция распределения является одно­мерной.

[5] Здесь предполагается сходимость несобственных интегралов (чер­та сверху—знак математического ожидания или усреднения по ансамблю).