Линейное пространство сигналов

Пусть множество сигналов, объединенных как объекты с некоторыми общими свойствами, характерными для множества М.

Исследование сигналов, образующих такие множества очень плодотворно, так как позволяет представлять, или определять одни сигналы множества М через другие сигналы того же множества.

Принято говорить, что множество сигналов М наделено определенной структурой, которая выбирается из физических соображений. Так, применительно к электрическим колебаниям известно, что они могут умножаться на произвольный масштабный коэффициент. Это дает возможность в множествах сигналов ввести структуру линейного пространства.

Множество сигналов М образует вещественное линей2ное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой линейный сигнал при любых t принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причем w также содержится в М, т.е. . Операция суммирования коммутативна и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа α определен сигнал .

4. Множество М содержит особый нулевой элемент 0, такой, что u+0=u для всех ,

Если математические модели сигналов приводят к получению комплексных значений сигналов, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, приходим к понятию комплексного линейного пространства.

Введение структуры линейного пространства является первым шагом на пути к геометрической трактовке сигналов. Элементы линейных пространств сигналов часто называют векторами. Отметим, что ограничения, накладываемые аксиоматикой линейных пространств, очень жесткие и не каждое множество сигналов оказывается линейным пространством.