Спектральное и временное представления периодических колебаний

В качестве периодического колебания возьмем периодическую последовательность прямоугольных импульсов, которая широко используется при передаче информации в радиорелейной связи, телевидении, системах передачи данных.

Такая последовательность имеет вид (рис. 6).

Рис. 6. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов

Аналитическое выражение данного сигнала будет иметь вид:

,

(14)

где п = 0, 1, 2, … - целые числа.

Параметры последовательности:

Е (в) – амплитуда импульсов;

Т (с) – период следования импульсов;

F=1/Т (Гц) – частота повторения импульсов;

t_u (c) – длительность импульса;

x = t_u /T - коэффициент заполнения последовательности.

Для практики большое значение имеет состав и ширина спектра такой последовательности импульсов. Известная ширина спектра позволяет определить полосы пропускания приемных устройств, предназначенных для приема импульсных сигналов.

Для выяснения состава спектра представим рассматриваемое колебание рядом Фурье в тригонометрической форме:

,

(15)

где - постоянная составляющая.

А_k – амплитуды составляющих колебаний, называемые также гармониками k –го порядка. Как видно из выражения (15) для выяснения состава спектра колебаний U(t) необходимо определить амплитуды всех составляющих и их фазы.

Амплитуды гармоник удобнее рассчитывать по формуле комплексного ряда.

;

(16)

где

(17)

- комплексные амплитуды составляющих.

Амплитуды импульсов принимает два дискретных значения: Е и О. Поэтому для определения амплитуды гармоник имеет смысл пределы интегрирования выбрать равными .

Тогда

(18)

Получили, что комплексная амплитуда k -й гармоники пропорциональна функции вида (это выражение называется функцией отсчетов) и принимает в зависимости от знака как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, модуль комплексной амплитуды имеет вид:

(19)

а начальные фазы j_k составляющих в этом случае могут принимать только два значения:

(20)

Изменение знака функции будет происходить в точках, в которых аргумент k = 0, 1, 2, … п, т.е. на частотах F_0n, где составляющие с номером k, 0п становятся равным нулю.

Решая выражение (19) относительно K_0n и F_0n определим ; где n = 1, 2, 3, … - целые числа.

В результате ряд Фурье для рассматриваемого колебания можно представить как

(21)

Выражения (18) и (20) позволяет построить спектр амплитуд и спектр фаз рассмотренного вида колебания при известных параметрах E, t_u, T. Например, пусть Е=Е₁, t_u=2 ^. 10^-3 (сек), Т=10^-2(сек).

В результате расчета по формулам (18) и (20), спектры амплитуд и фаз будут иметь вид показаний на рис. 7.

Рис. 7. Временное и спектральные представления периодического сигнала

Для определения влияния параметров периодической последовательности прямоугольных импульсов на форму спектра амплитуд рассмотрим два колебания, показанных на рис. 8.

Рис. 8. Временные диаграммы периодических сигналов

Спектр амплитуд этих колебаний имеет вид, показанный на рис. 9.

Рис. 9. Спектр амплитуд

Как видно:

- амплитудный спектр периодического колебания является дискретным, бесконечным;

- составляющие спектра гармоник имеют частоты следования, кратные частоте следования импульсов: F_u=n F₁;

- амплитуды составляющих изменяются по закону .

	(22)
где	(23)