Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Система нелинейных уравнений решается методом Ньютона аналогично.

Пусть дана система нелинейных уравнений

f ₁(х ₁,..., х _n)=0;

f ₂(x ₁,..., х _n)=0;

… … …;

f _n(х ₁,..., х _n)=0.

Эта система заменяется системой линеаризованных уравнений

;

;

… … … … …;

.

В матричном виде система (2) записывается

… ∆ х ₁ f ₁(х ₁, х ₂, …, х _n)

… х ∆ х ₂ = f ₂(х ₁, х ₂, …, х _n)

… … … … … …

… ∆ х _n f _n(х ₁, х ₂, …, х _n)

или в общем матричном виде

, (8)

где - матрица Якоби; ∆ х – вектор-столбец поправок; F (х) – вектор-столбец невязок.

Данная система линейных уравнений может быть решена любым известным численным методом (например, методом Гаусса).

Алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Зададим начальные приближения , , …, .
2. Вычислим невязки f ₁(х ₁, х ₂, …, х _n), f ₂(х ₁, х ₂, …, х _n), …, f _n(х ₁, х ₂, …, х _n).
3. Вычислим все элементы матрицы частных производных при х ₁= , х ₂= , …, х _n= .
4. Найдем поправки , , …,

Для этого решим систему линейных уравнений

численным методом относительно поправок ∆ х ⁽¹⁾.

1. Определим новые приближения

1. Вычислим невязки f ₁(х ₁,…, х _n), f ₂(х ₁,…, х _n), …, f _n(х ₁,…, х _n)
2. Проверим условия

| f ₁(х ₁,…, х _n)|≤ε₁;

| f _n(х ₁,…, х _n))|≤ε_n.

Если не выполняется хотя бы одно из n условий, то производим следующую итерацию – повторяем действия 3-7, уже используя полученные значения , , …, . Итерационный процесс нахождения корней системы нелинейных уравнений будем продолжать до выполнения всех условий без исключения.

Метод Ньютона эффективен в том случае, когда известны хорошие начальные приближения неизвестных, достаточно близкие к корням системы нелинейных уравнений. Это условие в наших задачах, как правило, удается выполнить.

Пример: нужно решить систему нелинейных уравнений

(при ε=0,01)

0 итерация 1. ; 2. ;

1 итерация

1.

2. х = или ;

Отсюда ; .

3. ;

.

4. ; |0,01667|>ε

; |0,114|>ε

2 итерация

1.

2. х = ;

3. ;

;

4. 0,0002714<ε

0,0000071<ε

Результаты расчетов сведем в таблицу

№ итерации		∆ х	х к	f (к)
	-	-
		0,1667	-1,125	-0,1667	1,125	0,01667	0,114
		-0,0191	-0,0016	-0,1476	1,1266	0,0002714	0,0000071