Формула Гаусса

Пусть необходимо вычислить определённый интеграл вида:

где f(x) – имеет высокую степень гладкости на интервале [-1; 1].

Данную задачу можно решить с помощью квадратурной формулы

.

Гауссом было доказано, что для достижения наивысшей точности результата интегрирования необходимо в качестве узлов квадратурной формулы взять корни многочлена Лежандра

.

Коэффициенты А_к при этом вычисляются по формулам

.

Рассмотрим применение этих формул.

При n=1 имеем одну узловую точку внутри отрезка [-1; 1], которая определяется из уравнения

Т.к. , то узловую точку находим из уравнения Отсюда

Т.к. , то .

При n=2 получаем две узловые точки внутри отрезка [-1; 1], которые определяется из уравнения

Преобразовав его получаем

.

Его решение . Т.к. ,

то общая формула для вычисления квадратурных коэффициентов приобретёт вид . Подставляя узловые точки, получаем:

при ;

при .

Для различного числа разбиения отрезка [-1; 1] можно получить таблицу узлов x_k и коэффициентов A_k. (Как это сделать будет показано на практическом занятии)

К-во точек разбиения	Узлы квадратурной формы	Коэффициенты квадратурной формы
n=1	x1=0	A1=2
n=2
n=3
n=4
n=5

В случае произвольного интервала интегрирования [a; b] (когда он не совпадает с отрезком [-1; 1]) предварительно делают замену переменной

.

А уже к преобразованному интегралу можно применить формулу Гаусса. Получим

,

где

– узлы квадратурной формулы Гаусса;

– соответствующие коэффициенты;

– остаток квадратуры.

Остаток квадратурной формулы Гаусса определяется по формуле

где

Пример. По формуле Гаусса вычислить интеграл I= (при n=5).

Решение.

Т.к. интервал интегрирования не совпадает с отрезком [-1; 1], применим

замену

.