Энергия магнитного поля

Рассмотрим энергию магнитного поля контура с током (рис.4.7). В начальный момент времени .

Увеличение тока в витке приведет к изменению (возрастанию) потока магнитного поля через контур и возникновению ЭДС индукции, направленной против внешней ЭДС. Чтобы достичь установившегося значения тока , источник внешней ЭДС совершает работу против ЭДС индукции:

; (4.29)

- заряд, прошедший за время по контуру. Работа идет на увеличение энергии магнитного поля. Тогда:

, (4.30)

и с учетом выражение (4.30) перепишется как:

. (4.31)

Интегрируя (4.31), получаем энергию магнитного поля, создаваемого током в контуре с индуктивностью :

. (4.32)

Для произвольного числа витков работа внешней ЭДС в k -м витке:

, (4.33)

при этом нужно учесть, что изменение потока может происходить не только за счет тока в этом контуре, но и за счет тока, текущего в другом (соседнем) контуре (он тоже создает магнитное поле).

Так, для двух витков с токами и и площадями сечения и (рис.4.8) можно записать:

. (4.34)

Кроме того:

, (4.35)

здесь и - коэффициенты самоиндукции; и - коэффициенты взаимной индукции.

Докажем, что на примере бесконечно длинного соленоида с двумя обмотками. Индукция магнитного поля в одной обмотке , в другой . Считаем, что объем у обмоток одинаков ; т.к. , то:

. (4.36)

Из системы (4.36) следует, что:

. (4.37)

Тогда в общем случае , изменение потока в k – той обмотке:

.

По (4.33) работа внешней ЭДС в k – том витке:

Тогда из ,

‑ (4.38)

энергия магнитного поля, создаваемого токами и . Энергия локализована на токах, создающих магнитное поле.

Теперь рассмотрим энергию магнитного поля при наличии магнетиков на примере соленоида, имеющего витков с током , внутрь которого помещен магнетик с проницаемостью .

По теореме о циркуляции для вектора (4.21) получим: т.е.

. (4.39)

Тогда , , где объем выражен через сечение и длину соленоида. По формуле (4.32), считая, что - индуктивность соленоида, получаем:

. (4.40)

Из (4.40) следует, что плотность энергии магнитного поля в среде:

(4.41)

и энергия локализована на поле независимо от того, как оно создано. Для электрического поля в среде: .

Для сравнения с плотностью энергии магнитного поля в вакууме запишем формулу (4.41) в виде:

Если (вакуум), то . Сравнение показывает, что плотность энергии поля в среде больше, чем вакууме.