Задача 6. Показать, что произведение унитарного оператора на число α тогда и только тогда является унитарным оператором

Показать, что произведение унитарного оператора на число α тогда и только тогда является унитарным оператором, когда |α|=1.

Определение: Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор А: H → H на гильбертовом пространстве H, который удовлетворяет соотношению A^*A=AA^*=I

где A^* — эрмитово сопряжённый к A оператор, и I: H → H единичный оператор.

Пусть A – унитарная матрица, тогда по определению: A^-1 = A^*.

Рассмотрим матрицу α A,^, докажем что она унитраная

(α A )^-1 = (α A )^* .

Для матрицы α A обратной будет 1/ α * A^-1.

Действительно, α A *1/ α * A^-1 =α*1/α* A* A^-1- 1* A* A^-1 =1*Е.

α A ^*= A^* (§3.1), тогда

А^-1 = A^*, т.к. А- унитарная

A^-1=А^* => А^-1 = A^-1 => = => 1= α.

Пусть α=a+bi, тогда =a-bi => 1=(a-bi)(a+bi) = a² – (bi)² = a² + b² .

В то же время |α| = √a²+b² => |α|= =1. Что и требовалось доказать.

Тем самым доказали, что если оператор α унитарный, то |α|=1.

Пусть |α|=1. Докажем, что αА – унитарная.

(αА)^-1 = А^-1 = А^* (по определению) = * A^* = * * A^*=

= *A^*= *A^* = *A^* = A^*= (αA)^* (по св. на стр. 10 §3).

Таким образом, (αА)^-1 = (αА)^*, что и означает унитарность оператора(матрицы) αА. (Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. 1975. 162с., № 7.3.3).