У разі, якщо

, (2.5)

то в точці функція екстремуму не має.

Якщо

, (2.6)

то питання про існування екстремуму залишається відкритим.

В загальному випадку перевірка достатніх умов здійснюється за допомогою складання матриці виду:

. (2.7)

Стаціонарна точка є точкою мінімуму функції , якщо усі кутові мінори матриці додатні, а саме

Стаціонарна точка є точкою максимуму функції , якщо знаки кутових мінорів матриці чергуються, при чому .

Якщо задача полягає у відшуканні локального чи глобального екстремуму деякої функції за умови, що на змінні такої функції накладаються додаткові обмеження, то маємо задачу пошуку умовного екстремуму функції. Термін «умовний» означає, що змінні задачі мають задовольняти деякі умови.

Розглянемо таку задачу для випадку двох змінних:

(2.8)

за умови

. (2.9)

Найпростіший спосіб розв’язання задачі такого виду полягає в тому, що спочатку з обмеження (2.9) знаходять вираз однієї змінної через іншу. Приміром, визначають через . Отриманий вираз виду підставляють у функцію (2.8), що після цього стає функцією однієї змінної , і далі знаходять її безумовний екстремум.

Якщо деяка точка є точкою екстремуму функції , то точка є точкою умовного екстремуму функції (2.8) за умови (2.9).

Однак не завжди вдається відшукати аналітичний вираз однієї змінної через іншу в умові (2.9). Часто це досить важко здійснити або неможливо. Також іноді складно узагальнити даний спосіб для функції n змінних, на які накладено m обмежень. Тому описана досить проста ідея зведення задачі відшукання умовного екстремуму функції кількох змінних до задачі на безумовний екстремум функції однієї змінної не може бути використана як основа універсального методу розв’язування задач на умовний екстремум. Цікавий метод розв’язування задач типу (2.8), (2.9) запропонував Лагранж.

3. Метод множників Лагранжа

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні початкової задачі простішою. Для цього цільову функцію замінюють іншою, з більшою кількістю змінних, тобто такою, яка включає в себе умови, що подані як обмеження. Після такого перетворення дальше розв’язування задачі полягає в знаходженні екстремуму нової функції, на змінні якої не накладено ніяких обмежень. Тобто від початкової задачі пошуку умовного екстремуму переходимо до задачі відшукання безумовного екстремального значення іншої функції. Отже, завдяки такому перетворенню можливе застосування методів класичного знаходження екстремуму функції кількох змінних.

У попередньому параграфі наведена необхідна умова існування локального екстремуму неперервної та диференційованої функ­ції двох змінних.

Узагальнення необхідної умови існування локального екстремуму функції n змінних має аналогічний вигляд. Отже, для розв’язування задачі необхідно знайти вирази частинних похідних нової цільової функції за кожною змінною і прирівняти їх до нуля. В результаті отримаємо систему рівнянь. Її розв’язок визначає так звані стаціонарні точки, серед яких є і шукані екстремальні значення функції.

Розглянемо метод множників Лагранжа для розв’язування задачі нелінійного програмування, що має вигляд:

(3.1)

за умов:

(3.2)

де функції і мають бути диференційовними.

Задача (3.1), (3.2) полягає в знаходженні екстремуму функції за умов виконання обмежень .

Переходимо до задачі пошуку безумовного екстремуму.

Замінюємо цільову функцію (3.1) на складнішу. Ця функція називається функцією Лагранжа і має такий вигляд:

, (3.3)

де — деякі невідомі величини, що називаються множниками Лагранжа.