Приклад 1.1

Визначити глобальний екстремум функції на множині розв’язків системи нерівностей:

Розв’язання:

.

Рис. 1.1

Множина допустимих розв’язків складається з двох окремих частин, кожна з яких є опуклою множиною (рис.1.1). Знайдемо значення цільової функції в точках . Для цього розрахуємо їх координати: .

Отже, глобальний максимум знаходиться в точці і дорівнює , а глобальний мінімум в точці і .

Зазначимо, що в точці функція досягає локального мінімуму, (значення цільової функції в т. менше, ніж значення її в сусідніх вершинах та ). Аналогічно, в точці досягається локальний максимум, який дорівнює і який менший за глобальний.

2. Умовний та безумовний екстремуми функції

У теорії дослідження функцій задача на відшукання екстремальних значень не містить ніяких додаткових умов щодо змінних і такі задачі належать до задач відшукання безумовного екстремуму функції. Локальний та глобальний екстремуми тоді визначаються з необхідних та достатніх умов існування екстремуму функції.

Нагадаємо, що необхідна умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб точ­ка була точкою локального екстремуму, необхідно, щоб функція була неперервною і диференційованою в околі цієї точки і перші частинні похідні за змінними та у цій точ­ці дорівнювали нулю:

(2.1)

Точка називається критичною.

Достатня умова існування локального екстремуму функції двох змінних формулюється так: для того, щоб критична точка була точкою локального екстремуму, достатньо, щоб функ­ція була визначена в околі критичної точки та мала в цій точці неперервні частинні похідні другого порядку.

Тоді, якщо

, (2.2)

то в точці функція має екстремум, причому, якщо

, (2.3)

тоді — точка локального максимуму функції , а якщо

, (2.4)

тоді — точка локального мінімуму функції .