Бағыт бойынша туынды. Градиент

Fфункциясы а нүктесінің белгілі бір δ-маңайында анықталған делік.Егер ϑ=(cos ,cos , cos )бірлік векторы үшін

(5)

Нақты мәнді жай шегі бар болса,онда f функциясының а нүктесінде ϑ бірлік бағыты бойынша туындысы бар деп, шектің өзін ϑ бағыты бойынша а нүктесіндегі туынды деп атап (a) символымен белгіленеді.

Теорема: Егер f ф-сы ашық жиынында анықталып, нүктесінде дифф-са онда кез-келгенϑ=(cos , cos , cos ) бірлік векторы үшін f функциясының ϑ бағыты бойынша а нүктесінде туындысы бар болып,

(6)

теңдігі орындалады.

Дәлелдеуі: болғанда , )=f (7)

Бір айнымалының күрделі функциясын қарастырайық. Теореманың шарты бойынша t=0 мәніне сәйкес , )=

нүктесіндеf ф-сы дифф-ды, ал болғандықтан, Ψ функциясы t=0 нүктесінде дифф-нып (8)

теңдігі орындалады. Сонымен бірге (7) мен бағыт бойынша туынды анықтамасына сәйкес

(9)

(9)мен(8)-ден дәлелдеу керек болатын (6) теңдігі шығады.

Теорема дәлелденді.

жиынының , элементі, яғни дербес туындылардан құрылған элемент, f функциасының а нүктесіндегі градиенті деп, grad f(a) түрінде белгіленеді