Свойства предела последовательности комплексных чисел

1. Для того, чтобы выполнялось равенство

(29.1)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства:

(29.2)

2. Из того, что следует

3. Если то

а)

б)

в)

Последовательность называется сходящейся к ¥, если для любого существует номер такой, что для любого номера выполняется неравенство

Другими словами, сходимость последовательности к бесконечности означает, что для любого сколь угодно большого числа можно найти такой номер, начиная с которого все элементы последовательности находятся в r -окрестности точки Символически это записывают так:

Свойства последовательности, сходящейся к

1. тогда и только тогда, когда

2. тогда и только тогда, когда

Пример 1. Пользуясь определением предела последовательности, доказать, что

Решение. Зададим произвольное малое число и рассмотрим e -окрестность точки Покажем, что существует такое натуральное число что для любого все точки рассматриваемой последовательности будут находиться в e -окрестности точки s. Это значит, что должно выполняться неравенство

Поскольку

то последнее неравенство принимает вид Решаем его относительно и полагаем Поскольку найдено, то тем самым доказано, что предел рассматриваемой последовательности равен

Пример 2. Найти если последовательность задается формулой:

1) 2)

Решение. 1) Найдем отдельно пределы действительной и мнимой частей данной последовательности, что мы можем сделать, используя свойство 1) предела последовательности. По формулам (29.1) и (29.2) получаем:

Получили, что

2) Запишем сначала элементы последовательности (комплексные числа) в алгебраической форме:

Легко убедиться, что

Пример 3. Найти если последовательность задается формулой:

Решение. В наших обозначениях Значит,

Рассмотрим различные случаи.

1. Допустим, что В этом случае Другими словами, для произвольного существует номер что для любого справедливо Так как то Отсюда следует, что т. е.

2. Пусть Тогда

Рассмотрим далее четыре случая коэффициентов b, c.

Если то находим:

и

Если то

Если то

Так как то

Если то