Расчёт цифровой цепи методом билинейного преобразования

Для получения передаточной функции цифрового фильтра необходимо произвести замену , где T_d - интервал дискретизации.

Примем период дискретизации:

T_d=0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

u=(2/Td+p0)*(2/Td+p1);

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=2*A/Td/u

b1=0

b2=-2*A/Td/u

a1=(-8/Td^2+2*p0*p1)/u

a2=(-2/Td+p0)*(-2/Td+p1)/u

b=[b0 b1 b2];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,0563

b₁ = 0

b₂ = -0,0563

a₁ = -1,7640

a₂ = 0,7747

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули:

z=-1; z=1

Полюса:

z=0,9383; z= 0,8257

Рис. 15. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);

Wd=(b0+b2*exp(-2*1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

% Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи

figure(1);

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

% Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне

figure(2);

Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);

Рис. 16. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 17. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

Полученная АЧХ цифрового фильтра, синтезированного методом билинейного преобразования, больше соответствует АЧХ аналогового прототипа в области частот от 10 до 10^4 рад/c, чем методом Эйлера при том же периоде дискретизации.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;

Рис. 18. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00019096 с

ИПФ фильтра, полученного методом БП, несколько отличается по форме от ИПФ прототипа для начальных отсчётов.

Теперь возьмём другой период дискретизации

T_d=0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0299

b₁ = 0

b₂ = -0,0299

a₁ = -1,8775

a₂ = 0,8804

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Нули:

z=-1; z=1

Полюса:

z=0,9687; z= 0,9089

Рис. 19. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Рис. 20. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)

Рис. 21. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

Импульсная переходная функция:

Рис. 22. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом билинейного преобразования при T_d=0,00009548 с

При уменьшении периода дискретизации у фильтра, полученного методом билинейного преобразования, характеристики изменились так же, как и у фильтра, полученного методом Эйлера.

Расчёт цифровой цепи методом инвариантной импульсной характеристики.

Ранее была получена импульсная переходная функция аналогового фильтра:

В этом методе синтеза ИПФ ЦФ определяется через дискретные значения ИПФ аналогового прототипа:

Восстановим передаточную функцию по ИПФ:

Примем период дискретизации:

T_d=0,00019096 с

Выбрав период дискретизации, можно найти коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

Код Matlab:

clc;clear;

Td=0.00019096; %Период дискретизации

A=2/3*10^3;

C0=1.5;

C1=-0.5;

%Полюса аналоговой передаточной функции

p0=1000;

p1=1000/3;

%Коэффициенты передаточной функции цифровой цепи

b0=A*Td*(C0+C1)

b1=A*Td*(-C0*exp(-p1*Td)-C1*exp(-p0*Td))

a1=-exp(-p1*Td)-exp(-p0*Td)

a2=exp(-(p0+p1)*Td)

b=[b0 b1];

a=[1 a1 a2];

Полученные коэффициенты:

b₀ = 0,1273

b₁ = -0,1266

a₁ = -1,7645

a₂ = 0,7752

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Найдём нули и полюса этой передаточной функции:

Код Matlab:

[q,p]=tf2zpk(b,a);

disp('Нули');

disp(q);

disp('Полюса');

disp(p);

figure(4);

zplane(b,a);

Нули:

z=0; z=0,9944

Полюса:

z=0,9383; z= 0,8262

Рис. 23. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Код Matlab:

w=logspace(1,5,10000);;

Wd=(b0+b1*exp(-1i*w*Td))./(1+a1*exp(-1i*w*Td)+a2*exp(-2*1i*w*Td));

% Построение графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ цифровой цепи figure(1)

subplot(2,1,1), loglog(w,abs(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('MAGNITUDE - |H(w)|');

hold on;

subplot(2,1,2), semilogx(w,180/pi*angle(Wd),'b'), grid on, xlabel('w (Rad/s)'), title('PHASE - arg [H(w)] (deg)');

hold on;

% Построение графиков ЛАЧХ аналоговой и цифровой цепи на одном полотне

figure(2);

Wa=A*1i*w./(1i*w+p0)./(1i*w+p1);

loglog(w,abs(Wd),'b');

hold on;

loglog(w,abs(Wa),'g');

hold on;

grid on; xlabel('w (Rad/s)'); title('MAGNITUDE - |H(w)|'); axis([0 10^5 10^(-2) 1]);

Рис. 24. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с (обозначена синим)

Рис. 25. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

АЧХ цифрового фильтра, синтезированного методом инвариантной импульсной характеристики, имеет существенно большие различия с АЧХ аналогового прототипа, чем у фильтров, полученных методами Эйлера и билинейного преобразования.

Импульсная переходная функция цифрового фильтра может быть получена за счёт обратного Z-преобразования его передаточной функции. Мы получим её с помощью пакета Matlab.

Код Matlab:

N=0.012/Td;

n=0:(N-1);

h=impz(b,a,N);

figure(3);

title('Impulse Response h(n*Td) - impz');

hold on;

xlabel('n');

ylabel('h(n*Td)');

plot(n,h,'b');

grid on;

Рис. 26. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00019096 с

ИПФ цифрового фильтра, полученного методом ИИХ отличается от ИПФ аналогового прототипа на вещественный множитель, равный периоду дискретизации.

Теперь возьмём другой период дискретизации

T_d=0,00009548с

Найдём коэффициенты передаточной функции и разностного уравнения:

b₀ = 0,0637

b₁ = -0,0636

a₁ = -1,8776

a₂ = 0,8805

Передаточная функция:

Разностное уравнение:

Нули:

z=0; z=0,9985

Полюса:

z=0,9687; z= 0,9089

Рис. 27. Карта нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

Получим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики этого фильтра. Для этого в передаточной функции произведём замену .

Амплитудно-частотная характеристика:

Фазо-частотная характеристика:

Рис. 28. ЛАЧХ аналогового фильтра (обозначена зелёным) и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с (обозначена синим)

Рис. 29. ЛАЧХ и ЛФЧХ цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

Импульсная переходная функция:

Рис. 30. Импульсная переходная функция цифрового фильтра, полученного методом инвариантной импульсной характеристики при T_d=0,00009548 с

При уменьшении периода дискретизации у фильтра, полученного методом билинейного преобразования, характеристики изменились так же, как и у фильтра, полученного методом Эйлера.