Магнитное поле движущихся зарядов. Закон Био-Савара-Лапласа

Результаты экспериментального исследования действия тока на магнитную стрелку были доложены на заседании Парижской Академии Био и Саваром 30 сентября 1820 г. В математическую форму элементарного взаимодействия между элементом тока и напряженностью поля в точке облек этот закон Лаплас.

Постановка вопроса такова. Есть заряд , движущийся со скоростью . Он создает магнитное поле (рис.3.3). Необходимо найти его величину в точке А. Экспериментально было установлено, что:

, (3.12)

где постоянная зависит от системы единиц. Если , то:

- (3.13)

закон Био-Савара-Лапласа. В законе - элемент длины проводника с током; - радиус-вектор точки, в которой измеряется магнитное поле .

По принципу суперпозиции:

. (3.14)

Заметим, что этот закон является своеобразным двойником закона Кулона в электростатике: напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния до точки наблюдения.

Примеры.

1. Определить магнитное поле проводника, по которому течет ток величины (прямого тока) в точке, удаленной на расстояние от него (рис.3.4). Воспользуемся (3.13), где угол:

.

Вектор направлен “от нас” в точке измерения.

. (3.15)

Так как ; ; ,

то:

. (3.16)

Силовые линии представляют собой окружности (направление определяется по правилу буравчика).

2. Определить величину магнитной индукции на оси витка с током в форме окружности радиуса . По витку течет ток (рис.3.5).

По (3.13) векторы направлены в точке оси z вдоль образующих конуса. Нормальные компоненты вектора ‑ его проекции на направление, перпендикулярное оси z ‑ при суммировании взаимно скомпесируются, останутся лишь тангенциальные компоненты (проекции на ось z):

;

. (3.17)

В центре витка:

. (3.18)

Зависимость показана на рис.3.6.

При

, (3.19)

где - магнитный момент витка. В СИ: [М]=А×м².

Виток, имеющий магнитный момент, создает на оси витка поле , перпендикулярное плоскости витка и совпадающее по направлению с моментом . В отличие от электрического поля кольца, по другую сторону витка вектор не изменяет направление (см. для сравнения рис.1.4); направление зависит лишь от направления тока (рис.3.6). Поэтому - полярный вектор, а – аксиальный.

Общая формула для в любой точке пространства с радиусом - вектором :

. (3.20)

Поэтому Ампером было введено понятие “магнитного диполя”, который представлял собой виток с током, имеющий магнитный момент: .

3. Найти величину индукции магнитного поля соленоида длиной с числом витков , по которому течет ток (рис.3.9).

В основу расчета положим формулу (3.17) для витка с током. Плотность намотки . На длине течет ток . Начало отсчета - в центре соленоида.

, (3.21)

где - координата точки, в которой измеряется индукция.

При . (3.22)

В центре соленоида , где .