Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Руководство к лабораторной работе

по курсу «Сопротивление материалов».

 

 

Балаково-2002.

 

Лабораторная работа

ИСПЫТАНИЕ СТАЛЬНОГО СТЕРЖНЯ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ.

Цель работы: экспериментально определить критическую силу для стального стержня при продольном изги­бе и сравнить с теоретическим значением.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ:

Понятие об устойчивом и неустойчивом упругом равновесии. Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированное тело при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится возвратиться к первоначальному состоянию и возвра­щается к нему после удаления внешнего воздействия, нарушившего первоначальное равновесное состояние.

Упругое равновесие будет неустойчивым, если деформиро­ванное тело, будучи выведено из него каким-либо воздействи­ем, в исходное состояние не возвращается,

Между этими двумя состояниями равновесия существует пе­реходное состояние называемое критическим, при котором деформированное тело находится в безразличном состоянии: оно может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и изменить ее от самого незначительного воздействия.

Рассмотрим стержень, шарнирно закреплённый по концам, длина которого велика по сравнению с размерами поперечного сечения, рис. 1(а)

Нагрузим стержень осевой сжимающей силой F, величина, которой плавно возрастает. До тех пор, пока сжимающая сила невелика, прямолинейная первоначальная форма равновесия будет устойчивой. При достижении сжимающей силы так называемого критического значения Fcr будет достигнуто состояние безразличного равновесия, при котором наряду с прежней прямолинейной формой равновесия возможны смежные с ней слегка искривленные формы равновесия. Наблюдается раздвоение (бифуркация) форм упругого равновесия. рис. 1(б). При дальнейшем, самом незначительном увеличении нагрузки стержень

 

 

 

выпучивается, прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Наблюдается быстрое нарастание деформации продольного изгиба, и несущая способность стержня будет исчерпана, рис. 1(в), Следовательно, критическую силу следует рассматривать эквивалентной разрушающей. Критической силой будем называть такую сжимающую силу, которая соответствует бифуркации форм равновесия.

Формула Эйлера для определения критической силы

Для определения критической силы воспользуемся статическим методом. Согласно этому методу критической силой будем называть наименьшую сжимающую силу, удерживающую в равновесии слегка искривленный стержень.

Рассмотрим прямой стержень, шарнирно закрепленный по концам и нагруженный сжимающими силами F=Fсr, рис. 2.

 

 

 

Дадим стержню небольшое искривление в плоскости наименьшей плоскости. При этом стержень будет находиться в равновесии в этом слегка искривленном состоянии, так как F=Fcr.

При малых прогибах можно пользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня.

EJminw¢¢=-M (1)

Где Е - модуль продольной упругости;

Jmin - минимальный момент инерции поперечного сечения;

w - прогиб в сечении балки с абсциссой Х;

М - изгибающий момент в этом сечении.

Подставляя в (1) значение изгибающего момента M=Fcrw получим

EJminw¢¢= - Fcrw (2)

Вводя обозначение

K2= Fcr / EJmin, (3)

Дифференциальное уравнение (2) можно записать в виде

w¢¢+K2w = 0 (4)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

w=c1sin k x +c2 cos k x (5)

Это решение содержит в себе три неизвестных величины: постоянные с1 и с2 и величину критической силы, входящую в k.

из условий опирания стержня по концам имеем следующие граничные условия:

1. При Х= 0 w = 0;

2. При C = l w = 0; (6)

Используя первое граничное условие, находим с2 = 0. Следовательно, изогнутая ось стержня является синусоидой

w = с1 sin k x (7)

Используя второе граничное условие получаем

с1 sin k x = 0 (8)

Так как мы исходим из того, что равновесие имеет место в искривленном состоянии, то с1¹ 0 и тогда должно быть

sin k l = 0 (9)

 

 

Отсюда находим, что kl= np (n= 0,1,2,…) (10)

 
 

подставляя значение k из формулы (3) и разрешая полученное уравнение относительно Fcr, найдем

Практический интерес представляет величина наименьшей сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб. Поэтому в формуле (11) следует принять n=1. Тогда получаем формулу для определения критической силы

(12)

Эта сила называется первой критической или Эйлеровой силой. Критической силе, определяемой формулой (12), соответствует изгиб стержня по синусоиде одной полу волной.

w =с1sin px / l (13)

аналогично могут быть получены формулы и для других случаев закрепления стержня по концам.

Пределы применимости формулы Эйлера.

Формулой Эйлера не всегда можно пользоваться. При ее выводе мы пользовались дифференциальным уравнением упругой оси, которое справедливо в пределах упругости. Поэтому напряжение в момент потери устойчивости (критическое напряжение scr) не должно превышать предела пропорциональности spr

scr < spr (14)

Критическое напряжение может быть найдено по формуле

scr=Fcr / A = p2EJmin / (l2A) (15)

где А - площадь поперечного сечения стержня.

Учитывая, что где - минимальный радиус инерции сечения тогда формула 15 запишется (16)

Вводя обозначение

(17)

где l - гибкость стержня, получим окончательную формулу для определения критического напряжения

(18)

подставляя (18) в (14) и разрешая полученное уравнение относительно гибкости, получим условие применимости формулы Эйлера.

(19)

при значениях гибкости стержня 40<=l<=p для определения критической силы следует пользоваться эмпирической формулой Ясинского (20)

где a и b - эмпирические коэффициенты, зависящие от материала, значения которых для различных материалов можно найти в справочной литературе. Так например, для малоуголеродистой стали эти коэффициенты могут быть приняты:

а = 310 МПа b= 1,14 МПа

 

 

Методика эксперимента.

Экспериментальное определение критической силы стального стержня производится на установке СМ-20, общий вид которой показан на рис.3.

 

Установка состоит из следующих основных частей: стального образца прямоугольного поперечного сечения 1, размещённого в корпусе 2 между верхней и нижней шарнирными опорами, треноги 3, нониуса 4 и маховика 5. Внутри корпуса расположен подъемный винт с гайкой, тарировочная пружина и червячная пара, с помощью которых вращением маховика создаётся сжимающее усилие в образце. Величена сжимающей силы F определяется по осадке тарировочной пружины Dl, регистрируемой по нониусу с точностью до 0.1 мм. Тарировочный график, позволяющий по измеренной осадке пружины определить величину сжимающей силы F, приведён на рис.4.

 

Систематические ошибки при экспериментальном определении критической силы обусловлены: начальной кривизной образца, эксцентриситетом приложения нагрузки, невозможностью точно фиксировать начало нагружения, момент достежения сжимающей силой критического значения и другими факторами, которые трудно оценить количественно.

 

Порядок выполнения работы.

Задание 1.

Экспериментальное определение критической силы.

Оборудование и принадлежности:

Установка СМ-20, общий вид и описание которой приведены в разделе “ Методика эксперимента “.

Экспериментальное определение критической силы стержня следует производить в такой последовательности:

1. Подготовить установку к работе.

Для этого установить ограничительные винты 6 так, чтобы зазор между ними и боковыми поверхностями образца составил 8-10мм. Затем, медленно вращая маховик 5 по ходу часовой стрелки, выбрать зазор между верхней и нижней шарнирными опорами.

2. По нониусу взять отсчёт Dln сточностью до 0,1мм и занести в таблицу.

3. Продолжая вращать маховик по ходу часовой стрелки, увеличить сжимающую силу F до достижения её критического значения Fcr. Этот момент фиксируется, когда образец при малом искривлении будет сохранять равновесие в в этом искривлённом состоянии, касаясь ограничительных винтов 6.

4. По нониусу взять отсчёт Dlк с точностью до 0,1мм и результат занести в таблицу.

5. По разности отсчётов Dlк- Dln с помощью тарировочного графика определить значение критической силы Fcri результаты занести в таблицу.

6. Вращая маховик против хода часовой стрелки, разгрузить образец.

Пункты 1-6 проделываются самостоятельно каждым студентом подгруппы и результаты заносятся в таблицу.

№ опыта Ф.И.О Студента Начальный отсчёт Dln [мм] Конечный отсчёт Dlк [мм] Разность отсчётов Dlк- Dln [мм] Значение критической силы Fсч [H]
1 ИвановИ.И.        

 

 

Задание 2

Теоретическое определение критической силы.

Оборудование и принадлежности.

ЭКВМ. Все вычисления на ЭКВМ следует производить с точностью до 3-х значащих цифр.

Теоретическое определение критической силы стального стержня при продольном изгибе осуществляется в следующей последовательности:

1. Записываются исходные данные задачи: длина образца l= 500 мм; размеры поперечного сечения h= 35мм, b= 2,5мм; модуль продольной упругости E= 2,1 105MПа; предел пропорциональности .

2. Вычисляется минимальный момент инерции сечения Jmin по формуле:

(21).

3. Вычисляется минимальный радиус инерции сечения по формуле:

(22).

4. Вычисляется гибкость стержня l по формуле (17).

5. По формуле (19) проверяем условие применимости формулы Эйлера.

6. Если условие (19) выполняется, то критическая сила вычисляется по формуле Эйлера(12), если не выполняется то по формуле Ясинского (20).

Следует иметь в виду, что критическая сила, вычисленная по формуле Эйлера, может отличаться от истинной критической силы стержня вследствие того, что, с одной стороны, геометрические размеры и упругие свойства стержня, могут, определены с некоторой степенью точности, а с другой стороны, в силу гипотез принятых в сопротивлении материалов.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРЕМЕНТА.

В качестве экспериментального значения критической силы Fcr принимаем среднее из значений Fcri, полученных в каждом опыте:

где n - число опытов.

Экспериментальное значение критической силы FЭcr сравнивается с теоретическим, полученным по формуле (12) или (20) и определяется их расхождение по формуле:

Расхождение D с учетом указанных выше факторов, влияющих на точность экспериментального и теоретического определения критической силы, должно находится в пределах 10%-15%.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какое состояние упругого равновесия называется устойчивым, неустойчивым и безразличным? Привести примеры.

2. Какой вид деформации называется продольным изгибом?

3. Что называется критической силой?

4. Как теоретически определить критическую силу?

5. Как определить критическую силу опытным путем?

6. Каковы причины погрешностей при экспериментальном определении критической силы?

7. Каковы причины погрешностей при теоретическом определении критической силы?

 


<== предыдущая | следующая ==>
Гистограмма 1. Родной язык народа (этноса) | Принципи кредитування

Date: 2015-07-24; view: 375; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию