Поле скоростей

При кинематическом описании движения любой механической системы нет необходимости подробно рассматривать внутренние физические свойства тел, включенных в систему (рис. 174). 

рис. 174

При описании движения жидкости достаточно принять во внимание ее текучесть − способность изменять свою форму при малейшем внешнем воздействии. Свойства жидкостей и газов существенно различаются, однако описание движения жидкостей и газов сходно, поэтому в данном разделе, говоря об описании движения жидкости, будем иметь в виду, что описание движения газов проводится аналогично. 

При движении жидкости можно проследить, что происходит с течением времени в каждой ее точке, т.е. можно указать величину и направление скорости движения различных частиц жидкости, которые в разные моменты времени проходят через одну и ту же точку пространства. При фиксированном времени в пространстве возникает мгновенная картина распределения скоростей жидкости - поле скоростей.

Следовательно, в каждой точке пространства можно указать вектор скорости любой частицы, проходящей через эту точку в данный момент времени.

Векторным полем называют область пространства, в каждой точке которой задано значение вектора a (r). Графически изображение векторного поля осуществляется с помощью векторных линий. Вектор a (r) является вектором касательной к векторной линии в точке Густота векторных линий пропорциональна абсолютному значению | r |.

Наглядно представить себе векторное поле достаточно затруднительно − в каждой точке необходимо изобразить вектор, что, конечно, невозможно. Поэтому используются несколько упрощенных способов графического представления векторных полей. Наиболее часто встречается изображение векторных с помощью линий поля − линий, касательные к которым совпадают с вектором поля (рис. 175). 

рис. 175

В рассматриваемом случае поля скоростей − линии поля называются линиями тока. Линия тока − такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости в данной точке. На линиях тока принято указывать направление движения жидкости. Заметим, что линию тока можно провести через любую точку, поэтому число линий, их густота определяются исключительно эстетическими соображениями. 
Семейство линий тока достаточно наглядно представляет движение жидкости в некоторой области (рис. 176). 

рис. 176

Исходя из определения, можно установить их общие свойства: 
1. Линии тока не пересекаются (в противном случае в точке пересечения можно построить две касательные, то есть в одной точке скорость жидкости имеет два значения, что абсурдно). 
2. Линии тока не имеют изломов (в точке излома опять можно построить две касательные). 
3. Линии тока начинаются на источниках и заканчиваются на точках стока жидкости. 

Если поле скоростей и соответствующие ему линии тока, не изменяются с течением времени, то движение жидкости называют стационарным.

Если движение жидкости является стационарным, то линии тока совпадают с траекториями движения частиц жидкости. В нестационарном потоке линии тока изменяются с течением времени, поэтому траектория отдельно взятой частицы отличается от линии тока. В этом случае линии тока следует рассматривать как вспомогательные математические иллюстрации, не имеющие явного физического смысла. 

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L, в котором через каждую его точку, в один и тот же момент времени, проведены линии тока (рис. 6.4). Они образуют поверхность, называемую трубкой тока.

Рис. 6.4

Скорости частиц жидкости направлены по касательным к линиям тока и при течении жидкости они не пересекают боковой поверхности трубки тока. На такие трубки тока можно разбить все пространство, занимаемое жидкостью. Если поперечное сечение трубки тока бесконечно мало, то скорость частиц жидкости будет направлена вдоль оси трубки тока.

Массу жидкости, протекающую через поперечное сечение трубки тока за время dt, можно определить по формуле

где r - плотность жидкости; S - площадь поперечного сечения трубки тока, нормально расположенной к линиям тока.

Для всех сечений трубки тока при стационарном течении жидкости dm=сonst. Для двух произвольных поперечных сечений трубки тока S₁ и S₂ (рис. 6.4) выполняется равенство

Если жидкость несжимаема, то r₁= r₂,

тогда формула (6.19) принимает вид

т.е. скорость течения жидкости обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубки тока.