Радиоактивный распад

1. Активность препарата ³²P равна 2 мкКи. Сколько весит такой препарат?

Закон радиоактивного распада:

,

где N₀ - количество радиоактивных ядер в произвольно выбранный начальный момент времени t = 0, N(t) - количество радиоактивных ядер, не распавшихся к моменту времени t, - постоянная распада (вероятность распада в единицу времени). N - активность (интенсивность излучения) радиоактивного препарата, измеряется в Ки, 1 Ки = 3.7 10¹⁰ распадов/с. T_1/2 - период полураспада данного ядра (время, в течение которого количество радиоактивных ядер уменьшается в два раза) равен для ³²P 14.5 суток. Период полураспада T_1/2 связан с постоянной распада соотношением T_1/2 = ln 2/ .
Количество ядер в образце массой m грамм

где N_A - число Авогадро, A - массовое число. Активность препарата

тогда его масса будет

= 7.1 10^-12 г.

2. Во сколько раз число распадов ядер радиоактивного иода ¹³¹I в течение первых суток больше числа распадов в течение вторых суток? Период полураспада изотопа ¹³¹I равен 193 часам.

Из закона радиоактивного распада N(t) = N₀ следует, что в течение первых суток (первых 24 часов) распалось ядер.
В течение вторых суток распалось ядер.
Отношение числа распадов за первые сутки к числу распадов за вторые сутки , где T_1/2- период полураспада ¹³¹I в часах, связанный с соотношением T_1/2 = ln2/ = 0.693/ .
Окончательно .

3. Определить энергию W, выделяемую 1 мг препарата ²¹⁰Po за время, равное среднему времени жизни, если при одном акте распада выделяется энергия E = 5.4 МэВ.

Количество ядер радиоактивного препарата за среднее время жизни уменьшается в e = 2.718 раз. Тогда количество распавшихся за это время ядер будет D = 1 - 1/2.718 = 0.632 от их первоначального числа. Начальное число ядер N в образце массой m грамм определяется из соотношения N = mN_A/A, где N_A - число Авогадро, A - массовое число. Количество энергии, выделившейся за время, равное среднему времени жизни изотопа ²¹⁰Po

.

4. Определить верхнюю границу возраста Земли, считая, что весь имеющийся на Земле ⁴⁰Ar образовался из ⁴⁰K в результате e-захвата. В настоящее время на каждые 300 атомов ⁴⁰Ar приходится один атом ⁴⁰K.

Число нераспавшихся к настоящему времени ядер ⁴⁰K

,

где N₀ - начальное число ядер ⁴⁰K в момент образования Земли, t - возраст Земли. T_1/2 - период полураспада ⁴⁰K, составляющий 1.277 109 лет. При радиоактивном распаде ⁴⁰K путем e- захвата распадается только 10.67% ядер, поэтому число ядер аргона к настоящему времени будет

.

Получаем уравнение:

,

откуда

5. В результате -распада радий ²²⁶Ra превращается в радон ²²²Rn. Какой объем радона при нормальных условиях будет находиться в равновесии с 1 г радия? Период полураспада ²²⁶Ra T_1/2(Ra) = 1600 лет, ²²²Rn - T_1/2(Rn) = 3.82 дня.

При установлении векового равновесия количество радиоактивных ядер обоих изотопов и их постоянные распада связаны уравнением

₁N₁ = ₂N₂,

откуда

N_Rn = N_{Ra Ra}/ _Rn = N_RaT_1/2(Rn)/T_1/2(Ra).

Количество ядер ²²⁶Ra

N_Ra = m N_A/A,

где m и A- масса и массовое число ²²⁶Ra, N_A - число Авогадро. Искомый объем

V = V_MN_Rn/N_A,

где V_M - молярный объем газа (22.4 л/моль). Получаем

6. Определить сечение реакции ³¹P(n,p)³¹Si, если известно, что после облучения мишени ³¹P толщиной d = 1 г/см² в потоке нейтронов J = 2 10¹⁰ с^-1 см^-2 в течение времени t_обл = 4 ч ее -активность I, измеренная через время t_охл = 1 час после окончания облучения, оказалась I(t_охл) = 3.9 10⁶ распадов/с. Период полураспада T_1/2(³¹Si) = 157.3 мин.

Число ядер ³¹Si, образующихся в 1 с в данной реакции

,

где n - число ядер на единицу площади мишени, N_A - число Авогадро, A- массовое число ³¹Si. Число распадающихся в 1 с ядер N(t), где = ln 2/T_1/2 = 60 ^х 0.693/157.3 = 0.264 ч^-1 - постоянная распада ³¹Si. Тогда

,

при этом N(0) = 0. Получаем, что к моменту времени t_обл образовалось ядер ³¹Si

.

Через промежуток времени t_охл после окончания облучения число ядер ³¹Si

Активность препарата

Для сечения реакции получаем

2 10^-26 см² = 20 мб.

7. Определить кинетические энергии -частиц , образующихся при - распаде ²¹²Bi на возбужденные состояния ядра ²⁰⁸Tl с энергиями 0,49 и 0,61 МэВ. Энергия связи E _св.(A,Z) ядра ²¹²Bi - 1654.32 МэВ, ядра ²⁰⁸Tl - 1632.23 МэВ и -частицы - 28.30 МэВ.

Энергия a -распада из основного состояния исходного ядра в основное состояние конечного ядра Q₀ определяется из соотношения

Q₀ = (M(A,Z) - M(A- 4,Z- 2) - M(a))с² = E_св(A- 4,Z- 2) + E_св(a) - E_св(A,Z),

где M(A,Z) - масса исходного ядра, M(A - 4, Z - 2) - масса конечного ядра, M(a) - масса - частицы и E_св(A,Z), E_св.(A- 4,Z- 2), E_св(a) соответственно их энергии связи. В общем случае, когда распад происходит из возбужденного состояния начального ядра в возбужденное состояние конечного ядра, энергия - распада определяется соотношением

Q = Q₀ + E_i - E_f,

где E_i и E_f - энергии возбуждения начального и конечного ядер.
Кинетическая энергия a -частиц с учетом энергии отдачи конечного ядра

При распаде на первое возбужденное состояние (0.49 МэВ) ядра ²⁰⁸Tl

= (1632.23 + 28.30 - 1654.32 - 0.49) МэВ ^х 208 а.е.м./212 а.е.м. = 5.61 МэВ.

При распаде на второе возбужденное состояние (0.61 МэВ) энергия -частиц будет

= (1632.23 + 28.30 - 1654.32 - 0.61) МэВ ^х 208 а.е.м./212 а.е.м. = 5.49 МэВ.

8. Определить орбитальный момент l, уносимый -частицей в следующих распадах:

Для распада A B + b запишем законы сохранения момента и четности

A = B + b + ,

где _A, _B, _b - спины частиц A, B и b соответственно, - орбитальный момент частицы b.

где P_A, P_B, P_b - внутренние четности частиц A, B и b соответственно. Спин -частицы 0, четность положительная. Законы сохранения момента и четности для -распада можно записать в виде

i = f + или |Ji - Jf| < l < Ji + Jf,

где _i, _f - начального и конечного ядер.

где P_i, P_f - четности начального и конечного ядер. Таким образом в случае
а) 0 < l < 5, четность не меняется и поэтому l = 0, 2, 4; в случае
б) 2 < l < 3, четность не меняется и l = 2; в случае
в) 0 < l < 5, четность не меняется и l = 0, 2, 4; и в случае
г) 1 < l < 4, четность меняется и l = 1, 3.

9. Используя значения масс атомов, определить верхнюю границу спектра позитронов, испускаемых при
⁺ -распаде ядра ²⁷Si.

Энергия ⁺ - распада

Q = M_ат.(A, Z) - M_ат.(A, Z - 1) - 2 m_e,

где M_ат.(A, Z) - масса атома исходного ядра и M_ат.(A, Z - 1) - масса атома ядра-продукта (массы в энергетических единицах). Масса атома ²⁷Si равна 25137.961 МэВ, а ²⁷Al - 25133.150 МэВ. Верхняя граница спектра позитронов равна энергии распада

T^max = Q = 25137.961 МэВ - 25133.150 МэВ - 2 ^х 0.511 МэВ = 3.789 МэВ.

10. Определить энергию отдачи ядра ⁷Li, образующегося при e- захвате в ядре ⁷Be. Даны энергии связи ядер - E_св(⁷Be) = 37.6 МэВ, E_св(⁷Li) = 39.3 МэВ.

Процесс ⁷Be + e^{- 7}Li + _e. Энергия e -захвата

Q_e = E_св(A, Z-1) – E_св(A, Z) – (m_n – m_p)c² + m_ec² = E_св(A, Z-1) – E_св(A, Z) – 0.78 МэВ,

где E_св(A, Z) и E_св(A, Z-1) - энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_p и m_e - массы нейтрона, протона и электрона.

Q_e = E_св( ⁷Li) - E_св( ⁷Be) - 0.78 МэВ = (39.3 - 37.6 - 0.78) МэВ ~ 0,9 МэВ.

Из законов сохранения энергии и импульса следует

где T_Li, - кинетические энергии отдачи ядра и нейтрино. Нейтрино - релятивистская частица, а ядро - нерелятивистское:

; ;

Окончательно имеем

.

11. Определить кинетическую энергию конечного ядра при ^-- распаде ядра ⁶⁴Cu ⁽⁶⁴Cu ⁶⁴Zn + e + _e) когда
1) энергия антинейтрино = 0, 2) энергия электрона T_e = 0. Энергии связи ядер ⁶⁴Cu - 559.32 Мэв и ⁶⁴Zn - 559.12 МэВ.

Энергия ^-- распада

= E_св(A,Z+1) - E_св(A, Z) + (m_n - m_p)c² - m_ec² = E_св(A,Z+1) - E_св(A,Z) + 0.78 МэВ = 0.58 МэВ,

где E_св(A, Z) и E_св(A, Z + 1) - энергии связи исходного и конечного ядер; m_n, m_p и m_e - массы нейтрона, протона и электрона. Энергия отдачи ядра при ^- - распаде будет:

1) = 0. Запишем законы сохранения энергии и импульса

Для импульсов, учитывая, что p_Zn - нерелятивистский импульс, p_e - релятивистский импульс, можно записать
где m_Zn - масса ядра ⁶⁴Zn. Из законов сохранения имеем

.

Далее, т.к. m_e << m_Zn, то T_Zn <<

.

2) T_e = 0. Аналогично как и в первом случае

Импульс антинейтрино ультрарелятивистский

.

Окончательно получим

.

12. Даны избытки масс атомов -
(¹¹⁴Cd) = -90.021 МэВ, (¹¹⁴In) = -88.379 МэВ и (¹¹⁴Sn) = -90.558 МэВ.
Определить возможные виды - распада ядра ¹¹⁴In.

Для ядра ¹¹⁴In b - распады выглядят так:

--распад - 114In 114Sn + e - + e,

+- распад - 114In 114Cd + e + + e,

e- захват - 114In + e - 114Cd + e.

Если величина энергии распада положительна, то ядро неустойчиво к распаду этого типа.
Энергии распадов:

--распад -	= (A,Z) - (A,Z+1);
+-распад -	= (A, Z) - (A, Z -1) - 2 me с2;
e- захват -	Qe = (A, Z) - (A, Z -1);

где (A, Z) - избыток масс исходного ядра, (A, Z + 1) и (A, Z - 1) - избытки масс конечных ядер, m_e - масса электрона. Подставим значения:

--распад -	= 90.558 - 88.379 = 2.179 МэВ > 0;
+-распад -	= 90.021 - 88.379 - 1.022 = 0.62 МэВ > 0;
e- захват -	Qe = 90.021 - 88.379 = 1.642 МэВ > 0;

Таким образом, ядро ¹¹⁴In испытывает все три вида - распада.

13. Показать, что в случае -распада ⁴²Sc имеет место разрешенный переход типа Ферми, а ³²P - типа Гамова-Теллера.

К разрешенным -переходам относятся переходы, при которых суммарный орбитальный момент l, уносимый электроном и нейтрино, равен нулю. Разрешенные переходы делятся на переходы типа Ферми, при которых спины электрона и нейтрино антипараллельны, и типа Гамова-Теллера, при которых спины электрона и нейтрино параллельны. Для разрешенных -переходов справедливы соотношения

_i + _j = 0, P_i = P_f для переходов Ферми,
_i + _j = 0, 1 (кроме 0 0 переходов), P_i = P_f для переходов Гамова-Теллера, i и f обозначают начальное и конечное ядро.

Рассмотрим переход ⁴²Sc (0⁺) ⁴²Ca (0⁺): для него P_i = P_f и _i + _j = 0, то есть выполнены все условия для перехода типа Ферми.
Рассмотрим переход ³²P (1⁺) ³²Sc (0⁺): для него P_i = P_f и _i + _j = 1, то есть все условия для перехода типа Гамова-Теллера выполнены.

14. Определить порядок запрета следующих -переходов:

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) ⁸⁹Y(1/2^-);
2. ³⁶Cl(2⁺) ³⁶Ar(0⁺);
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺) ¹³⁷Ba(3/2⁺).

Запрещенные переходы подразделяются по порядку запрета, который определяется суммарным орбитальным моментом l, уносимым электроном и нейтрино. Если l = 1, то это запрещенный переход первого порядка, l = 2 - второго порядка и т.д. Справедливы следующие соотношения:

.

1. ⁸⁹Sr(5/2⁺) ⁸⁹Y(1/2^-) - возможны два варианта:
   J = 2; l = 1; P_i = (-1)³ P_f - первого порядка запрета и
   J = 3; l = 3; P_i = (-1)³ P_f - третьего порядка запрета.
   Так как вероятность -переходов сильно падает при увеличении порядка запрета, то в данном случае будет преобладать -переход первого порядка запрета.
2. ³⁶Cl(2⁺) ³⁶Ar(0⁺) - возможен всего один вариант:
   J = 2; l = 2; P_i = (-1)² P_f - это -переход второго порядка запрета.
3. ¹³⁷Cs(7/2⁺) ¹³⁷Ba(3/2⁺) - возможны два варианта:
   J = 2, 3; l = 2; P_i = (-1)^2,4 P_f - -переход второго порядка запрета и
   J = 4, 5; l = 4; P_i = (-1)^4,6 P_f - это b -переход четвертого порядка запрета.
   Преобладающим будет -переход второго порядка.

15. Для ядра ¹⁷Ne определить максимальную энергию запаздывающих протонов, вылетающих из ядра ¹⁷F, образующегося в результате e -захвата на ядре ¹⁷Ne. Энергии связи E_св(¹⁷Ne) = 112.91 МэВ, E_св(¹⁷F) = 128.23 МэВ и E_св(¹⁶O)=126.63 МэВ.

Рассматриваемый процесс ¹⁷Ne + e ^{- 17}F* + _e ¹⁶O + p. Максимальная энергия возбуждения ядра ¹⁷F* равна энергии e -захвата

E_max(¹⁷F*) = Q_e = E_св(¹⁷F) - E_св.(¹⁷Ne) - 0.78 МэВ = 128.23 МэВ - 112.91 МэВ = 14.54 МэВ.

Энергия отделения протона для ядра ¹⁷F

_p = E _св(A, Z) - E _св(A -1, Z -1) = E _св(¹⁷F) - E _св(¹⁶O) = 128.23 МэВ - 126.63 МэВ = 1.6 МэВ.

Максимальная энергия запаздывающих протонов есть

16. Определить типы и мультипольности -переходов:

1)	1- 0+,	4)	2+ 3-,
2)	1+ 0+,	5)	2+ 3+,
3)	2- 0+,	6)	2+ 2+.

Изменения состояний атомных ядер, сопровождающиеся испусканием или поглощением квантов электромагнитного поля, называются -переходами. Полный момент количества движения фотона J называется его мультипольностью. Значение спина фотона J_min= 1. Полный момент J может принимать только целочисленные значения (кроме нуля).
Различаются переходы электрические (EJ) и магнитные (MJ). Для электрических фотонов четность P = (-1)^J. Для магнитных фотонов P = (-1)^J+1.

1. 1^- 0⁺ - J = 1; P = -1, фотоны типа E1;
2. 1⁺ 0⁺ - J = 1; P = +1, фотоны типа M1;
3. 2^- 0⁺ - J = 2; P = -1, фотоны типа M2;
4. 2⁺ 3^- - J = 1, 2, 3, 4, 5; P = -1, фотоны типа E1, M2, E3, M4, E5; преобладают фотоны типа E1;
5. 2⁺ 3⁺ - J = 1, 2, 3, 4, 5; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4, M5; преобладают фотоны типа M1 и E2;
6. 2+ 2⁺ - J = 1, 2, 3, 4; P = +1, фотоны типа M1, E2, M3, E4; преобладают фотоны типа M1 и E2.

17. По схеме низших возбужденных состояний ядра ²⁰⁸Pb определить наиболее вероятный путь распада возбужденного состояния 4^- с энергией 3.475 МэВ. Указать мультипольности переходов.

Период полураспада T_1/2 -переходов зависит от мультипольности перехода J и длины волны излучения .

Для электрических переходов EJ -	,
для магнитных переходов MJ -	,

где R - радиус ядра.

Рассмотрим переходы с уровня E(J^P = 4^-) = 3.475 МэВ:

· переход (4^- 5^-) имеет J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; P_i / P_f = +1 и типы переходов M1 + E2 + M3 + E4 + M5 + E6 + M7 + E8 + M9; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1 + E2;

· переход (4^- 3^-) имеет J = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; P_i / P_f = +1 и типы переходов M1 + E2 + M3 + E4 + M5 + E6 + M7; распад происходит в основном с излучением фотонов типа M1 + E2;

· переход (4^- 0⁺) имеет J = 4; P_i / P_f = - 1 и тип перехода M4.

Наибольшую вероятность имеют переходы с наименьшей мультипольностью, в данном случае это (4^- 5^-) и (4^- 3^-). Из этих двух переходов большую вероятность имеет переход (4^- 3-), так как энергия этого перехода
E (4^- 3^-) = 3.475 - 2.610 = 0.865 МэВ больше энергии перехода
E (4^- 5^-) = 3.475 - 3.197 = 0.278 МэВ, и, соответственно, длина волны излучения, входящая в знаменатель выражения для вероятности перехода, меньше.

Таким образом, распад возбужденного состояния ядра ²⁰⁸Pb с E(J^P = 4^-) = 3.475 МэВ происходит в основном по каналу (4^- 3^- 0⁺).

18. Согласно классической электродинамике, электрический диполь размера l в единицу времени излучает энергию, определяемую соотношением

,

где w - циклическая частота колебаний диполя, Ze и l - заряд и размер диполя. Используя это соотношение, оценить среднее время для электрических дипольных переходов -квантов с энергией 1 МэВ в ядре A 70.

Предположим, что для ядра с массовым числом A =70 зарядовое число Z =30 и определим радиус диполя равным радиусу ядра - R = r₀ A ^1/3, где величина r₀ = 1.2 Фм. Число -квантов в единицу времени N, учитывая, что :

.

Оценим среднее время жизни:

19. Оценить допплеровское уширение спектральной линии с энергией = 1 МэВ при комнатной температуре (T = 300 K).

Допплеровское уширение спектральной линии

,

где T - температура в абсолютной шкале, k - постоянная Больцмана. Энергия отдачи ядра при испускании -кванта

.

Предположим, что масовое число ядра A = 50. Учитывая, что для комнатной температуры T = 300 K величина kT = 0.025 эВ, получаем

20. Используя формулу Вайцзеккера, получить соотношение для вычисления энергии спонтанного деления на два одинаковых осколка и рассчитать энергию симметричного деления ядра ²³⁸U.

Энергия деления ядра на два одинаковых осколка Q_f = (m_исх - 2m_оск) = 2W_оск - W_исх, где m_исх и m_оск - массы исходного ядра и каждого из осколков, а W_исх и W_оск - их энергии связи. Формула Вайцзеккера для энергии связи ядра

,

где a₁ = 15.78 МэВ, a₂ = 17.8 МэВ, a₃ = 0.71 МэВ, a₄ = 94.8 МэВ, a₅ = 0 для ядер с нечетным A, a₅ = +34 МэВ для четно- четных ядер и a₅ = - 34 МэВ для нечетно- нечетных ядер. Последний член a₅/A^3/4 вследствие его малости рассматривать не будем.

При делении исходного ядра (A_исх, Z_исх) на два одинаковых осколка (A_оск, Z_оск) их массовые числа и заряды имеют следующие соотношения: A_оск = A_исх/2 и Z_оск = Z_исх/2. Энергия деления ядра будет зависеть только от второго и третьего членов формулы Вайцзеккера - поверхностной и кулоновской энергии:

Поверхностная энергия осколков

.

Кулоновская энергия осколков

.

Энергия деления ядра Q_f выделяется в результате изменения кулоновской и поверхностной энергии исходного ядра и осколков