Ж. Пиаже

Это большая ошибка – думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наобо­рот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо

и спонтанно. Когда взрослые пытаются навязать ребенку математические понятия преждевременно, он выучивает их только словесно; настоящее понимание приходит только с его умственным ростом.

Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 или 6 лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камеш­ков в ряд, ребенок может правильно их сосчитать. Но если выложить ка­мешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с постоянной точностью. Хотя ребенок знает назва­ния чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что чис­ло объектов в группе остается тем же, «сохраняется» независимо от того, как их растасовать или расположить.

С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6;6 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать 8 красных и 8 синих кусочков картона, он установит, распо­лагая их попарно «1» к «1», что число красных такое же, как и число си­них, и что обе группы остаются равными по числу независимо от формы, которая им придается.

Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у де­тей развивается понятие числа. Выложим ряд из 8 красных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сделать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на расстоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую стадию; они кладут один синий ку­сочек против каждого красного и получают правильное число. Но это во­все не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем красные кусочки, сделав расстояние между ними более значительным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возра­сте от 6;6 до 7 лет достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число кусочков в нем остается тем же, что и в другом ряду.

В другом сходном опыте ребенку дают 2 сосуда одинаковой формы и размера и просят вынимать одновременно обеими руками и класть в дру­гие 2 сосуда бусинки: синюю бусинку – в один сосуд правой рукой, а красную бусинку – в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спрашивают, как их сравнить. Ребенок уве­рен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят вы­сыпать синие бусинки в сосуд другой формы и размера. И теперь снова со-

ответственно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, например, бусинки наполняют сосуд до более высокого уровня, ребенок утверждает, что теперь в нем больше бусинок, чем было в прежнем; если бусинки наполняют сосуд ниже этого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети в возрасте около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бусинок.

Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения количества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохране­ние количества само по себе не является числовым понятием; это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии проли­вают некоторый свет на эпистемологию понятия числа, которое являлось предметом исследования многих математиков и логиков.

Математики Анри Пуанкаре и Л.Е.Дж.Брауэр придерживались мне­ния, что понятие числа является продуктом простейшей интуиции, пред­шествующей логическим понятиям. По нашему мнению, только что опи­санные опыты опровергают это положение. С другой стороны, Бертран Рассел придерживался той точки зрения, что число есть чисто логическое понятие: идея количественного числа выводится из логического понятия категории (число является категорией, производимой из категории экви­валентности), тогда как понятие порядкового числа выводится из логи­ческих отношений порядка. Но теория Рассела не вполне подходит к пси­хологическим процессам, какими мы их наблюдаем у маленьких детей. Дети вначале не делают различия между количественным и порядковым числом, и, кроме того, само понятие количественного числа предполагает отношение порядка. Так, например, ребенок может установить соответ­ствие один к одному лишь в том случае, если он не забудет ни одного из элементов и не использует один и тот же элемент дважды. Но единствен­ный путь для различения одного элемента и другого состоит в том, чтобы рассматривать его до или после другого во времени или пространстве, т.е. в порядке исчисления ( of enumeration ).

Исследование того, что ребенок открывает пространственные отно­шения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. Порядок развития идей ребенка в области геометрии кажется обратным порядку их историческо­го открытия. Научная геометрия начинается с системы Евклида (тракту­ющей фигуры, углы и т.д.), развивается в XVII столетии в так называемую проективную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы) и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей простран­ственные отношения в общем качественном виде, например, различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок начинает с последнего: его первые геометрические открытия являются топологическими. В возрасте 3 лет

он легко различает открытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рису­ет крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему рисунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может воспроизвести это отношение, но может также нарисовать маленький круг вне большого или соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоугольник или выразить евклидовы характе­ристики фигуры (число сторон, углы и т.д.). Лишь значительно позже того, как ребенок овладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия евклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно.

Интересно, что этот психологический порядок гораздо ближе к поряд­ку дедуктивного или аксиоматического построения современной геомет­рии, чем исторический порядок ее открытий. Это является еще одним примером родства между психологической структурой ( construction ) и логической конструкцией самой науки.

Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных струк­тур. Сначала мы ставим 2 крайних столбика «решетчатой ограды» (мале­нькие палочки, вставленные в основания из пластилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую линию. Их подход является топологическим: элементы связаны скорее простым отношением близости, чем проекцией линии как таковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может соста­вить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая прямая линия, которой ре­бенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок может начать строить линию параллельно краю стола, а затем меняет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получаемых посред­ством проб и ошибок, а не по системе.

В возрасте 7 лет ребенок может построить прямую ограду всегда и в любом направлении стола, и эту прямую линию он проверяет так: он за­крывает один глаз и просматривает направление другим глазом, как это делает садовник, равняя жерди для бобов. Перед нами сущность проек­тивного понятия; линия все еще является топологической линией, но ре­бенок улавливает, что проективное отношение зависит от угла зрения или «точки зрения».

Это исследование можно продолжить с помощью другого опыта. На­пример, вы ставите на стол куклу и помещаете перед ней предмет, ориен-

тированный в определенном направлении: карандаш, лежащий наискось, по диагонали или вдоль линии взора куклы, или часы, поставленные или положенные на стол. Затем вы просите ребенка нарисовать, как кукла видит предмет, или, еще лучше, выбрать из 2 или 3 рисунков один, на ко­тором это изображено. Не ранее чем около 7 или 8 лет ребенок может правильно вывести угол зрения куклы.

Сходный опыт, поставленный для проверки того же вопроса, ведет к такому же заключению. Предметы разной формы помещаются в разных положениях между источником света и экраном, и ребенка просят пред­сказать, какой будет форма тени от предмета на экране.

Способность координировать разные перспективы проявляется не ранее 9 или 10 лет. Это иллюстрирует опыт, который несколько лет тому назад я подсказал своей сотруднице доктору Эдит Мейер. Эксперимента­тор сидит за столом против ребенка и ставит между ними собой гряду гор, сделанную из картона. Оба видят эту гряду во взаимно обратной перспек­тиве. Ребенка просят выбрать из нескольких рисунков один, соответству­ющий его собственному виду гряды, и один – ее виду с позиции лица, си­дящего напротив него. Естественно, самые младшие дети могут выбрать только один рисунок, соответствующий их точке зрения; они думают, что все точки зрения подобны их собственной. Еще более интересно, что, если ребенок меняется местами с экспериментатором и теперь видит горы с другой стороны, он полагает, что его новая точка зрения является единственно правильной; он не может воспроизвести вид с точки зрения, которая была его собственной непосредственно перед этим. Это хороший пример эгоцентризма, столь Характерного для детей, пример примитив­ного рассуждения, мешающего им понять, что может быть и более чем одна точка зрения.

Дети должны проделать значительную эволюцию, чтобы где-то около 9 или 10 лет начать различать и координировать разные возможные перс­пективы. На этой стадии дети могут понять проективное пространство в его конкретной или Практической форме, но, естественно, не в его теоре­тических аспектах.

К тому времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и евклидово пространство; оба построения опираются друг на друга. Так, например, выстраивая ряд столбиков огра­ды, он может воспользоваться не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет по­нятие о сохранении направления, которое является евклидовым принци­пом. Здесь мы имеем еще одну иллюстрацию того факта, что дети образу­ют математические понятия на качественном или логическом основании.

Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же дли-

ны, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за грани­цы другого, то ребенок 6 лет будет утверждать, что оба блока уже не рав­ны по длине. Не ранее чем в возрасте около 7 лет ребенок начинает пони­мать: то, что блок «выигрывает» на одном конце, он «теряет» на другом. Нужно отметить – ребенок приходит к этому понятию о сохранении дли­ны путем логического заключения.

Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает сохране­ние расстояния, особенно показательно. Между двумя маленькими игру­шечными деревьями, стоящими на расстоянии друг от друга, вы помещае­те стену из блоков или куска толстого картона и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), находятся ли теперь деревья на том же расстоя­нии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить 2 части расстояния в одно общее рас­стояние. Дети 5 или 6 лет думают, что расстояние уменьшилось, указывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, за­полненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния.

Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следующее: дети не доходят до принципа сохранения длины или площади, пока где-то око­ло 7 лет не открывают обратимости, которая показывает, что первона­чальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т.д.). Таким образом, открытие ло­гических отношений является предварительным условием образования геометрических понятий, как это имеет место при образовании понятия о числе.

Это относится и к самому измерению, которое также является произ­водным понятием. Интересно проследить, как дети спонтанно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотрудниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребенку башню из блоков, стоящую на сто­ле, и просили его построить другую башню такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребёнка всеми необходимыми измерительными инструментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят порази­тельную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о различии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их вер­хушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребе­нок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они находятся на одном уровне. Несколько позже он замечает, что основание его башни располагается не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом

с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают пе­редвигать его башню, он начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум, – это его собст­венное тело. Он кладет одну руку на вершину своей башни, другую – на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети в возрасте около 6 лет делают это весьма уверенно – так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обна­руживают, что метод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей башни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и на­правляется к модели посмотреть, является ли расстояние тем же.

В конце концов, ребенку приходит мысль о независимом измеритель­ном инструменте. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он переносит ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню-образец А, вторую башню С, а перемещаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С и В = А, поэтому А = С. Позже ребенок замещает третью башню стержнем, но сначала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей из­мерению. Затем к нему приходит мысль использовать более длинный стержень, на котором высоту башни можно отметить пальцем. Нако­нец – и это начало настоящего измерения – он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откла­дывая стержень по ее стороне известное число раз.

Последнее открытие содержит две новые логические операции. Пер­вая – это процесс разделения, который позволяет ребенку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вместе частей. Вторая – это операция смещения или замещения, которая позволяет ему присое­динять одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэ­тому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и за­мещения, подобно тому как число есть синтез включения категорий и се­риального порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяе­мые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы.

Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ребенку большой лист бумаги с нанесенной на нем карандашом точкой и просим поставить точку в том же месте на другом листе такого же размера. Ребе­нок может воспользоваться палочками, полосками бумаги, веревочками, линейками или любым другим измерительным инструментом, в котором

он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближением, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок начи­нает прибегать к измерительным инструментам, но измеряет только рас­стояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не позволяет ему правильно определить по­ложение точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пыта­ясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8-9 лет он открывает, что должен разделить измерение на 2 операции: определить горизонтальное расстояние от боковой сторо­ны и вертикальное – от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения при­близительно в том же возрасте.

Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к централь­ной идее евклидова пространства, а именно к идее осей координат – сис­темы, основанной на горизонтальности или вертикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы усвоить эти представления, ибо в конце концов он может сделать раз­личие между положениями «прямо вверх» и «лежащее внизу». Но в дейст­вительности представление о вертикальных и горизонтальных линиях под­нимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании постурального пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью следую­щих опытов; показывая сосуд, наполовину наполненный подкрашенной во­дой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постига­ет идею горизонтальности и начинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с игрушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстри­руют, что понимание вертикальности появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действитель­ности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу или стенам комнаты).

Когда ребенок уясняет для себя, как строить эти оси координат по от­ношению к естественным объектам (что наступает приблизительно в то же время, когда он овладевает координацией разных перспектив), он так­же достигает понимания того, как надо изображать пространство. Но к этому времени у него начинают развиваться и свои основные математи­ческие понятия, которые возникают спонтанно из его собственных логи­ческих операций.

Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивительно плодо­творны и выявили много неожиданных фактов, которые освещают много­численные вопросы психологии и педагогики; более того, они учат нас многому о человеческом познании вообще.

ЭВОЛЮЦИЯ ИНТЕЛЛЕКТА В ПОДРОСТКОВОМ И ЮНОШЕСКОМ ВОЗРАСТЕ [48] [1972]