Действие и операции мышления

Фигуративные аспекты познавательных функций, как бы необходимы для познания «состояний» они ни были, бесполезны для формирования мыш­ления, ибо сами по себе они не в состоянии ассимилировать преобразова­ния реального мира. Причина заключается в том, что познание не есть статическая копия реальности. Познать предмет не значит просто снять с него копию, познавать – значит воздействовать на него, чтобы с помо­щью преобразований уловить механизм его конструкции. Познавать – значит динамически воспроизводить объект, но для того чтобы воспроиз­водить, нужно уметь производить, поэтому знание вытекает из действия в целом, а не только из его фигуративных аспектов.

IV. Субъект и объект. Первое следствие из положения о действии как первоисточнике мышления и признания недостаточности одних фигу­ративных аспектов – это установление отношении между субъектом и объектом диалектической, а не статической связи.

Всякая попытка статического рассмотрения связи между субъектом и объектом приводит к их диссоциации, отрыву друг от друга, что становит­ся источником непреодолимых трудностей. Идти от субъекта для того, чтобы понять объект, – это значит связать себя с позицией априоризма и идеализма, которая не ведет к пониманию объекта; при рассмотрении

же субъекта как системы законченных структур забывают, что субъект не имеет раз и навсегда завершенный вид: субъект – не что иное как систе­ма действий, совершаемых им по отношению к объектам, и эти действия постоянно преобразуются в соответствии с природой объектов и меняют самого субъекта. Идти от объекта, игнорируя действия субъекта, – это значит связать себя с эмпирической или позитивистской точкой зрения, которая не признает того, что познания объекта можно достичь лишь пу­тем последовательных приближении: вся история наук показывает, что объективность не является исходной точкой, а строится и постигается не­устанным, кропотливым трудом, потому что последовательные прибли­жения помогают действиям субъекта в процессе познания и реконструк­ции объекта.

Таким образом, субъект S и объекты О неразделимы, и именно из их неразрывного взаимодействия S ↔ О и возникает действие как источник познания. Исходным пунктом познания не является ни S, ни О, но их взаимосвязь, столь характерная для действия. Именно на основе этого диалектического взаимодействия и раскрывается постепенно объект и его свойства – путем децентрации, которая освобождает познание от его внешних иллюзий. Исходя из этого взаимодействия, субъект раскры­вает и познает объект, организует действия, в стройную систему операций интеллекта.

Приведем два примера децентрации такого рода, чтобы показать не­обходимую роль действий и операций в познании объекта и, в особенно­сти, для того, чтобы показать, каким образом операция, основанная на общих координациях действия, освобождает его от субъективных и инди­видуальных аспектов и позволяет возникнуть освобожденной от центраций объективности самого действия и нашего «Я».

Первый пример будет тривиальным. В Женеве было опрошено много детей в возрасте до 7 лет. Они считают, что по вечерам луна следует за ними, и я видел, как некоторые из них проводили своего рода проверку: они входили в магазин, а, выходя из него, смотрели, ждет ли их луна. Некоторые дети, например, пробегали целый квартал, пока луна была скры­та от них за домами, чтобы убедиться, что луна еще видна. Здесь мы имеем дело с псевдознанием, вытекающим из непосредственного действия, еще лишенного на этом этапе какой бы то ни было децентрации; опрашиваемые мной дети были очень удивлены, когда я спросил, следует ли луна, и за мной тоже (ответ: «Ну, разумеется!»). На мой вопрос, что будет с лу­ной, если я пойду от А к В, а ребенок от В к А, последовал ответ: «Она, наверное, пойдет сначала за вами, но потом непременно догонит меня». К 7–8 годам уверенность в этом исчезает, и я встречал детей, которые помнили, каким образом это происходит (или, по крайней мере, находили для этого подходящее объяснение): «У меня в школе были друзья, – го-

ворил, например, семилетний мальчик, – и я понял, что луна не может идти за всеми нами сразу; это только кажется, что она следует за нами, но это неправда». В данном случае для того, чтобы исправить первоначаль­ную ошибку, достаточно было одной децентрации на основе взаимности действий.

Второй пример более глубокого свойства: он показывает влияние ад­дитивных операций на представление о сохранении вещества. Так, выше говорилось, что на первых порах ребенок не имеет понятия о сохранении числа, ибо здесь отсутствуют аддитивные операции; до них ребенок дой­дет лишь тогда, когда начнет координировать действия объединения (1 + 1), четко придерживаясь правила, при котором совокупность есть сумма частей. Децентрация аддитивной операции, которая таким обра­зом освобождается от внешних признаков фигуративности (восприя­тия или образа), дает хороший пример децентрации в области сохра­нения физических величин (сохранение сахара при растворении его в воде).

Эксперимент, проведенный мною совместно с Б.Инельдер, состоял в том, что ребенок должен был поставить на весы стакан воды, положить в него два-три куска сахара и затем убедиться, что вес стакана увеличива­ется и что уровень воды повышается по мере погружения кусков (ее но­вый уровень специально отмечался на стенке сосуда). В связи с этим можно поставить три вопроса: 1) Что станет с растаявшим сахаром? 2) Сохранится ли его вес? 3) Поднимется или снизится уровень воды (со­хранение объема)? На дооперациональной стадии, когда еще нет адди­тивной операторной композиции, у детей нет никакого понятия о сохра­нении физических величин: они думают, что растаявший сахар поглоща­ется водой (а сладкий вкус воды исчезает, подобно тому, как улетучивает­ся запах), вес стакана уменьшается вслед за растворением сахара, а уро­вень воды вновь снижается до первоначального, т.е. того, который был до погружения сахара. И наоборот, как только формируются аддитивные композиции, ребенок вначале приходит к пониманию сохранения веще­ства, затем сохранения веса и, наконец, объема. Он начинает понимать, что, тая, сахар делится на маленькие кусочки, которые постепенно дела­ются все меньше и меньше. Он предполагает, что, когда кажется, будто сахар исчез, на самом деле остаются такие маленькие его частички, кото­рых просто не видно; но в сумме (здесь-то и проявляется важность адди­тивной композиции) все эти частички составляют первоначально види­мые куски, и, следовательно, количество сахара сохраняется. Но понача­лу ребенок думает, что частички слишком малы для того, чтобы хоть что-нибудь весить и тем более чтобы занимать какое-нибудь место. Со временем, однако, он придет к выводу, что каждый кусочек имеет свой, пусть очень маленький, вес, а еще позднее – что он имеет маленький

объем и сумма этих весов и объемов составляет общий вес кусков сахара перед их растворением и общий объем, о котором можно судить по изме­нению уровня воды.

Из этого примера видно, как координация действий объединения (или сложения), после интериоризации их в системы операций, ведет к децентрации и к объективности, достаточной для того, чтобы преодолеть фигу­ративную видимость и достичь понимания таких сложных форм сохране­ния, какими являются сохранение веса и объема тела, ставшего невиди­мым. Достижение объективности представляет особый интерес, так как оно происходит приблизительно в том же возрасте, когда ребенок уже осознает различные преобразования, которые представляются наглядны­ми: например, можно превратить глиняный шарик в глиняную сосиску и спросить, сохранится ли при этом количество вещества, а также вес и объем. В случае сахара, как и глины, дети начинают понимать сохранение количества вещества с 7–8 лет, сохранение веса – с 9–10 лет, а сохра­нение объема – с 11-12 лет.

V. Формирование операций. Операции представляют собой интериоризированные действия, ставшие обратимыми и сгруппированными в системы, подчиняющиеся своим законам, композиции. Так, например, действие, совершаемое ребенком в раннем возрасте, заключается в объ­единении сходных между собой предметов в одну группу – совокупность А. Точно так же он может объединить другие сходные между собой пред­меты в другую группу А'; и если он придвинет одну группу к другой, чтобы образовать новую группу В, то он выполнит другое действие, состоящее в объединении уже не отдельных предметов, а совокупностей, что для простоты можно выразить следующим отношением: А + А' = В. Под этим актом кроются материальные действия, уже имеющие некий общий смысл, и нетрудно убедиться в том, что эти действия являются исход­ным пунктом для операций объединения или сложения. Но эти действия отделены от соответствующих операций большой дистанцией, так как они еще должны быть усвоены, приобрести обратимость и образовать системы.

Понимание действия связано с решением разного рода проблем как нейрофизиологического, так и психологического характера, изучаемых, в частности, и в СССР. Не останавливаясь подробно на этом вопросе, за­мечу только, что процессу интериоризации действий способствует сим­волическая функция. На сенсомоторном уровне, т.е. начиная с момента рождения вплоть до 1;6-2 лет, действия еще не могут стать мыслью. С началом формирования разговорной речи, символической игры, подра­жания по памяти и мысленного образа, благодаря своего рода наброскам действий, осуществляемых в высших отделах нервной системы, становят­ся возможными процессы мышления. Здесь следует заметить, что умст-

венное действие продолжает быть действием: сложить ли два камушка или две абстрактные единицы (1 + 1 = 2) – и в том, и в другом случае имеет место процесс объединения элементов в единое целое, и если даже на первый взгляд в «чистой» математике предмет «исчезает», он, тем не менее, непременно присутствует там, пусть и в превращенном виде (« so­me- object- in -general »).

Обратимость также сопряжена со сложными проблемами. Когда ре­бенок объединяет две группы А + А' в единое целое В, можно предполо­жить, что в этом-действии уже заключёно и обратное действие, так как ребенок может разделить совокупность В, чтобы выделить из нее группу А, т.е. осуществить отношение В – А' = А. Здесь и в самом деле намеча­ется начальная форма обратимости, но еще далеко не полная, так как ре­бенок может забыть, как образовалась сумма В, и когда ему понадобится группа А, он забудет, что А = В – А', т.е. что А связано с суммой В. По­добное замечание на Первый взгляд может показаться искусственным, однако приведем результаты следующего эксперимента. Пяти-, шести­летним детям дают несколько карточек с изображениями цветов (напри­мер, 7 примул, 2 розы и 1 гвоздику) и задают следующие вопросы: «Все примулы цветы?» – Да, конечно. – «Все эти цветы являются приму­лами?» – Нет, здесь есть и розы, и одна гвоздика. – «Так, в букете больше примут или цветов?» И, как правило, ребенок отвечает: Больше примул, потому что здесь всего три цветка. – «Но если убрать цве­ты, останутся примулы?» - Нет, это тоже цветы. – «Ну, так как же все-таки, здесь больше цветов или примул?» – Больше примул, пото­му что у нас только три цветка, и т.д. Иными словами, ребенок мо­жет хорошо представлять себе целое – «все цветы» и их часть – «при­мулы», но когда он задумывается над частью А, целое В разрушается и остается лишь другая часть А': в этом случае если спросить у него о соот­ношении А и В, он ответит, что А > А', потому что совокупность В после того, как он ее мысленно разделил на части, перестает для него существо­вать. Для того чтобы понять включение А < В, нужно мысленно сохра­нять совокупность и уметь рассуждать обратимо: если А + А' = В, значит А - В - А', т.е. А < В.

Именно этим отсутствием обратимости и объясняется неспособность понять сохранение вещества, о которой мы говорили выше. Когда ребе­нок переливает воду из бокала X в более узкий бокал У и говорит, что в У больше воды, потому что вода поднялась выше, он не учитывает, что со­держимое У можно перелить обратно в Х и, главное, не считается с тем, что, хотя столбик воды и выше в У, он тоньше, и что если к некоторой ве­личине прибавить количество Q в высоту и отнять то же количество Q в ширину, то получится +Q – Q = 0, т.е. ничего не изменится. Именно к

этому выводу и приходит ребенок, когда достигает стадии сохранения ве­щества: «Столбик выше, но тоньше, значит везде одинаково».

Итак, для того чтобы перейти от действия к операции, необходимо, чтобы действие стало обратимым; именно это и происходит, когда ре­бенок уже мыслит не частными и изолированными действиями – таки­ми, как «налить», «добавить» и т.д., – а опирается в своих суждениях на общие координации действий. Как уже указывалось выше, начиная с сёнсомоторного уровня, действия координируются между собой, обра­зуя структуры объединения, упорядочивания, соответствия, пересечений и т.д.; по мере того как общие координации сливаются с частными осмыс­ленными действиями, последние становятся обратимыми. Точнее говоря, всякая координация действий, как, впрочем, любая биологическая коор­динация, стремится к равновесию, которое достигается с помощью регу­ляции и саморегуляции. Равновесие, полученное путем саморегуляции, представляет собой компенсационные механизмы, действующие либо с помощью предвосхищающих коррекций, либо с помощью коррекций на основе обратной связи, и дающие, таким образом, приближенную обра­тимость. Если же координации распространяются на сериации, класси­фикации, отношения соответствия и др., то эта обратимость может стать полной, а мысль – произвольно регулируемой.

Но операции представляют собой не только интериоризованные и обратимые действия. По своему характеру они, кроме того, объединены в систему, так как они могут бесконечно повторяться в виде прямых и об­ратных композиций: таким образом, композиции прямых и обратных операций дают новые сочетания. Что касается объединений, о которых говорилось выше, то как только ребенок научится объединять два класса, что соответствует отношению А + А' = В, он может таким же образом продолжать и далее, т.е. В + В' = С; С + С – D и т.д., и на этой основе по­строить классификацию. С психологической точки зрения класс, по сути, непременно связан с классификацией, так как изолированных классов не существует, и если образуется один класс, он должен противопоставлять­ся другим классам, что ведет к построению классификации в той или иной форме.

Точно так же асимметричное транзитивное отношение А < В не может пребывать в изолированном состоянии и ведет к упорядочению других, подобных ему отношений В < С, С < D и т.д. в серии. Число не может существовать в изолированном виде, оно является частью операциональ­ной сериации целых или «натуральных» чисел. Точно так же, как семья является частичкой генеалогического древа. Две классификации образу­ет мультипликативную таблицу или матрицу с двойным входом. Между двумя сериями можно установить соответствие и т.д. Итак, как только по­являются обратимые операции, начинается процесс формирования сис-

тематизированных структур, подчиняющихся законам целостной сово­купности. Но эти структуры не представляют собой априорно данную ис­ходную точку в мышлении «субъекта»; они являются завершающим эта­пом непрерывной последовательности трансформаций, которые в конеч­ном счете координируются в обратимые операции. Но если мы и употре­били выражение «в конечном счете», то это означает лишь достижение определенного уровня развития, за которым, в свою очередь, диалектически последует ряд других этапов, пока не получивших еще своего чет­кого определения.

VI. Физический опыт и логико-математический опыт. Если опе­рации мышления именно таким образом возникают из трансформаций объектов и если всякое воздействие на объект начинается с непрерывно­го взаимодействия (S ↔ О) между субъектом S, который воздействует на объекты, и объектами О, которые реагируют на эти воздействия, то те­перь остается понять, как формируются два вида познания, имеющие между собой глубокие различия: с одной стороны, физическое познание (в широком смысле слова), которое направлено на свойства конкретных объектов, и, с другой стороны, логическое или математическое познание, которое хотя и направлено также на объекты, но объекты более общего порядка или особого рода, и поэтому логико-математическое познание, начиная с определенного уровня, развивается дедуктивно, не нуждаясь в экспериментальной проверке.

1. Неоднократно утверждалось (а англосаксонская школа «логиче­ского позитивизма» утверждает до сих пор), что физическое познание основывается только на опыте, в то время как логико-математическое познание не связано с опытом и является чисто дедуктивным механиз­мом или простым «языком», синтаксис и семантика которого служат для описания опыта, но не вытекают из него. Такое объяснение нам кажется неточным как с исторической, так и с психологической точки зрения, по­скольку, как мы уже неоднократно говорили, логические и математиче­ские операции возникают из действия и, как и физические знания, они предполагают – по крайней мере, на своих начальных этапах – экспе­риментирование в полном смысле слова.

Из истории хорошо известно, что до аксиоматической математики греков в Египте и других странах существовала эмпирическая и утили­тарная математика, которая служила для расчетов, для межевания и т.д. Таким образом, математика возникла в недрах практического опыта, и только потом в ней появились дедуктивные построения; так же и техника появилась прежде науки, а материальное действие предшествует опера­циям ума.

Что же касается детской психологии, то совершенно очевидно, что на дооперациональном уровне, где дедукция в упорядоченной форме еще не-

возможна, и даже на первых операциональных уровнях ребенок своим опытом открывает логические и математические законы, которые он еще не может вывести путем дедукции. Первым примером является транзи­тивность. Когда ребенок 7–8 лет становится способен построить ряд из десяти линеечек размером от 10 до 14,5 см операциональным путем, он совершает дедуктивный вывод: А < С, если А < В и В < С. Операциональ­ный способ построения сериации заключается в том, чтобы сначала най­ти самую маленькую из линеек, затем самую маленькую из тех, которые останутся, и т.д.; ребенок должен научиться понимать, что элемент Е од­новременно больше, чем все предыдущие (Е > D, С, В, А), но меньше всех последующих (Е< F,G и т.д.); эта обратимость, приводящая к сери­ации элементов в ряд, подразумевает, следовательно, непосредственное понимание транзитивности А < С. Но прежде чем начать действовать опе­рациональным образом, ребенок может выполнить сериацию только пу­тем проб: он видит, что В< Е, затем В< С< Е, затем А < В и т.д., т.е. дей­ствует бессистемно ввиду отсутствия координации, которая предшество­вала бы его последовательным действиям. Если же ему показать две ли­нейки (А < В), затем спрятать, и показать, что линейка В меньше линей­ки С (В < С), то он не сможет путем дедуктивного вывода установить, что А < С; нужно, чтобы ему снова показали линейку А, и только тогда он сможет сравнить ее с С. Чтобы добиться понимания этого логического за­кона, ему еще необходим опыт!

Точно так же уравнение типа 2 + 3 = 3 + 2 ни в коей мере не является очевидным для детей, находящихся на дооперациональном уровне, до его проверки опытным путем на предметах. Кроме того, все обучение ариф­метике с помощью конкретных вычислений на предметах достаточно ясно показывает необходимость постоянных действий и эмпирической провер­ки для того, чтобы в итоге вычисления стали дедуктивными. При этом об­наруживается, что на всех уровнях обучения и даже на уровне соверше­ния математических открытий сначала необходимо провести проверку на конкретных примерах и только потом переходить к общим, абстрактным положениям; то, что математики называют интуицией (которая ничего не доказывает, но служит открытию нового), представляет собой след этих начальных уровней действия и экспериментирования.

Тем не менее, в своем развитии математика достигла чисто дедуктивно­го уровня, на котором эмпирическая проверка бесполезна, поскольку де­дуктивного выведения достаточно. В некоторых случаях опыт просто не­возможен, поскольку по своей сути опыт конечен и не может охватить бесконечность. Освобождение от необходимости эмпирического опыта поднимает, однако, особую проблему: если математические операции бе­рут свое начало в действиях или общих координациях действий, то данный процесс требует своего объяснения.

Но прежде чем обсуждать эту проблему, ее необходимо обозначить. Тот факт, что в математике операторное рассуждение, начиная с како­го-то уровня абстракции, больше не нуждается в опытной проверке, не означает ни того, что математика противоречит опыту, ни того, что она полностью потеряла связь с объектом. Напротив, один из наиболее уди­вительных фактов из истории науки заключается в том, что очень часто математики создавали свои структуры, не заботясь об опыте, однако эти структуры сразу или спустя какое-то время оказывались применимыми к физическому опыту. Известным примером является неевклидова геомет­рия, которая была разработана благодаря чисто абстрактным обобщени­ям и которая служит теперь для объяснения многих физических явлений. Современная ядерная физика пользуется «операторами», которые мате­матики построили задолго до того, как у них появилась возможность при­менить их в этой области. И примеров такого рода много.

Следует заметить, что все физические явления поддаются математи­ческому описанию, но математика опережает физический опыт как по времени, так и с точки зрения абстрактного обобщения. Между логи­ко-математическими операциями и физической реальностью существует соответствие, но оно не является прямым, непосредственным, что и со­здает трудную психологическую задачу.

2. На первый взгляд, задача усложняется (но на самом деле она лишь уточняется), когда устанавливают, что и в истории науки, и в развитии ре­бенка логико-математические операции приводят к знаниям такой степе­ни точности, которой физические сведения достигают намного позднее.

Из истории наук известно, что греки создали логику и математику, но не разработали экспериментальной физики, если не считать отдельных редких случаев из области статики (статика Архимеда). Они создали аст­рономию, но физика Аристотеля была на очень низком уровне по сравне­нию с логикой и математикой того времени. Только Галилей и наука XVII в. создали теорию инерционного движения, а также заложили пред­посылки для возникновения действительно экспериментальной физики, в отличие от физики в основном эмпирической.

Одна из причин такого положения заключается в том, что в логи­ко-математической области наиболее распространенные операции явля­ются и наиболее простыми: аддитивная композиция, сериация (понятие порядка), соответствие и др. служат здесь наглядными примерами. В об­ласти физики, наоборот, наиболее распространенные явления имеют весьма сложную природу, и для того, чтобы получить простое описание явления, необходимо сначала выделить факторы, влияющие на него: при­чудливые изгибы траектории падения листа, например, невозможно представить в виде уравнения. Гениальность Галилея в том и заключа­лась, что более чем через двадцать веков после возникновения дедуктив-

ной математики ему удалось в достаточной мере разделить разные факто­ры, сделать время прямого падения независимым аргументом и получать простое уравнение движения.

Инельдер провела серию опытов, в которых детям предлагалось выве­сти некоторые элементарные физические законы; и мы совместно описа­ли ряд результатов, полученных в ходе анализа логических операций, применяемых детьми в подобных опытах. Самый главный и наиболее об­щий результат этих исследований заключается в демонстрации тех труд­ностей, которые испытывают дети и младшие подростки при попытке раз­делить действующие факторы, поскольку такого рода разделение предпо­лагает способность к комбинаторному рассуждению, т.е. логические опе­рации более высокого уровня, чем операции классификации, сериации, установления соответствия и др.

Один из этих опытов состоял в том, что испытуемым давали набор гибких стержней и предлагали: 1) выделить все факторы, потенциально способные влиять на гибкость стержня (его длина, толщина, форма сече­ния, материал, из которого он изготовлен), 2) установить те факторы, ко­торые действительно оказывают влияние на гибкость. Ребенок легко вы­деляет все эти факторы или некоторые из них, но только к 14-15 годам он способен построить систематическое доказательство влияния како­го-то одного фактора, устраняя действие других факторов (путем варьи­рования параметров одного фактора при сохранении неизменными дру­гих). Ребенок 9-10 лет, например, легко обнаруживает, что длина стер­жня играет некоторую роль, но когда у него просят доказательств, он бе­рет длинный и тонкий стержень и сравнивает его с коротким и толстым. Когда его спрашивают, почему он так делает, он отвечает: «Так лучше – видна разница», не думая о том, что такое сравнение само по себе ничего не доказывает.

Другими словами, на этом уровне развития дети приступают непо­средственно к действию: они классифицируют, упорядочивают предме­ты в серии, устанавливают между ними соответствия, но все это проис­ходит в глобальной форме, без попыток разделения факторов. Дети по­старше после нескольких проб формулируют ряд гипотез и начинают по­следовательно изучать влияние факторов; сначала по одному, затем по два, по три и т.д. Кроме того, они применяют не только элементарные или «конкретные» операции над классами, отношениями и числами, но и операции логики высказываний (импликация, дизъюнкция, конъюнкция, несовместимость и т.д.), которые также предполагают комбинаторное рассуждение, причем чтобы провести разделение факторов, необходимо пользоваться двойной комбинаторикой, одна часть которой применяется к идеям или предложениям, а другая – к фактам или конкретным на­блюдениям.

Таким образом, очевидно, что хотя ребенок уже в 7-8 лет с помощью дедукции приходит к элементарным логико-математическим операциям, нужно подождать до 14-15 лет, прежде чем он сможет экспериментиро­вать, и этот разрыв во времени ( décalage ) заставляет нас вспомнить о це­лых веках, которые отделяют арифметику Пифагора и «Начала» Евклида от физики Галилея или Декарта.

3. Эти сведения показывают, что хотя опыт и необходим как для обра­зования логико-математических структур, так и для приобретения физи­ческих знаний, существует, однако, определенное различие между этими двумя видами опыта, несмотря на то, что оба они, естественно, состоят из действий, совершаемых субъектом с объектами.

Напомним, что физический опыт состоит в воздействии на предметы и их изменении с целью открыть свойства этих предметов и получить зна­ние путем абстракции от самих предметов. Именно таким образом ребе­нок обнаруживает, например, что одна палочка обладает большей гибко­стью, чем другая, что между гибкостью и длиной существует связь, и т.д.

Рассмотрим пример логико-математического опыта, в котором обна­руживается, что сумма чисел не зависит от порядка слагаемых (свойство коммутативности), т.е. 2 + 3 = 3 + 2. Один крупный математик рассказал мне, как он был поражен, когда в детстве открыл это свойство. Сосчитав 10 камешков, положенных в ряд, он решил затем пересчитать их в обрат­ном порядке, а потом, расположив их в круг и снова пересчитав, он с вос­торгом нашел, что каждый раз у него получается 10. В чем же заключает­ся такой опыт?

Это, конечно, трансформация, преобразование объекта с целью его изменения (расположить камешки в ряд или в круг и т.д.) и обнаружения в объекте результата этих изменений (10 слева направо – это то же самое, что 10 справа налево). Но разница между физическим опытом и ло­гико-математическим состоит в том, что в случае физического опыта от­крываемые таким образом свойства принадлежат объекту, а в случае ло­гико-математического опыта они вносятся или добавляются действием. Это означает, что палочка обладала определенной степенью гибкости еще до того, как ребенок согнул ее, а не приобрела гибкость благодаря сгибанию. В то же время ни линейный, ни циклический порядок камней не существовал в них прежде, чем они были соответствующим образом расставлены с помощью специального действия. Можно признать, что число их равнялось 10, а не 9 и не 11, но чтобы их можно было пересчи­тать и назвать числом 10, прежде надо было поставить их в соответствие с числами 1,2,3,..., 10 или с пальцами рук, поскольку число – это отно­шение соответствия, а вовсе не абсолютное свойство.

Другими словами, то, что субъект открывает в логико-математиче­ском опыте, есть результат действия счета, которое существенно зависит

от действия упорядочивания. Следовательно, логико-математический опыт состоит в абстрагировании от объекта тех свойств, которые прису­дили действиям, изменяющим этот объект, а не свойств, не зависимых от действий, хотя и выявленных с их помощью. Тогда можно сказать, что в ходе открытия в объекте этих свойств логико-математический опыт при­обретается путем абстрагирования собственно от действий и их коорди­нации, а не извлекается из объекта помимо этих действий.

Поскольку действия, которые совершаются с объектом и которые «придают ему новые свойства, являются исходной точкой формирования логико-математических операций, становится понятным, почему матема­тика Может иметь чисто дедуктивную форму: достаточно, чтобы вместо экспериментирования на камешках субъект выполнил те же операции над любыми объектами, символически обозначенными знаками 1, 2, 3,... или х, у, z. Однако если в физическом опыте заменить гибкий стержень каким-либо иным предметом, то мы рискуем так и не дойти до существа дела.

4. Такое толкование логико-математического опыта у некоторых авторов вызвало возражения, направленные на необходимость смягчения, либо даже полного снятия различий между логико-математическим и физическим видами опыта. Представляется, однако, что эти возражения вызваны недоразумениями, которые можно устранить, если принять во внимание следующие замечания.

1) Оба вида опыта – и физический, и логико-математический – представляют собой лишь два противоположных полюса единого целого, но не два исходно разных типа опыта, совершенно не связанные друг с другом, ибо в действительности они нераздельны. В случае проверки свойства коммутативности при подсчете камешков логико-математический опыт дополнялся физическим, потому что камни устанавливались в определенном порядке и пересчитывались. Из этого можно сделать вы­вод, что во время этих операций камни сохраняли свой вид и форму – они не сливались в единое целое, как капли воды и т.д., и именно в этом смысле физический аспект неотделим от логико-математического. И нао­борот, действия, которые включены в физический опыт, неотделимы от общих координации, природа которых является логико-математической (объединение, упорядочение, установление соответствия и т.д.). Эти два вида опыта и образуют два полюса, что естественно, поскольку нераз­рывна сама связь субъекта и объекта (S ↔ О). В таком случае физичес­кий полюс соответствует стрелке →, ведущей от объекта к субъекту, а ло­гико-математический – стрелке ←, ведущей от субъекта к объекту, при определенных различиях в их пропорциях в зависимости от конкретной ситуации.

2) Логико-математический опыт имеет также отношение и к объекту, но уже измененному действием. Субъект, разумеется, совершенно не

осознает разницы между абстракцией от объекта, независимого от дейст­вия, и от объекта, измененного действием.

3) Логика и математика (даже «чистая») всегда направлены на объек­ты. Но эти объекты могут оставаться неопределенными, поскольку дело касается общих координации, а не конкретных и специализированных действий, как этого требует физический опыт.

4) Наконец – и это всего важнее – увязывание логико-математиче­ских операций с действиями субъекта не означает пренебрежения к фи­зической реальности, поскольку последняя неотделима от организма, с которым связан субъект. Общие координации действия в конечном итоге связаны с координациями в нервной системе и, как известно, Маккаллок и Питтс обнаружили в различных видах нейронных и синаптических свя­зей структуры, изоморфные структурам логики высказываний. Координа­ции на уровне нервной системы сами в свою очередь зависят от органиче­ских координации, которые по своей природе являются физико-химиче­скими. На вопрос, почему математика применима к физической реально­сти, если она является абстракцией не физического опыта, а общих коор­динации действий, можно получить ответ в биологии – области, касаю­щейся самих основ нашего познания; биология изменчивости и эволюции даст ответ скорее, чем психология ребенка. Сказанное, разумеется, не означает, что математика и логика как бы преформированы в организме. Это лишь означает, что действия и операции, с помощью которых они об­разуются, носят не произвольный, а закономерный характер, и что их за­коны вытекают из законов организма, который является одним из множе­ства других объектов, но в то же время служит источником возникнове­ния субъекта.

ЛИТЕРАТУРА

Piaget J. Les mecanismes perceptifs. Paris, 1961.

Piaget J., Inhelder B. La representation de l'espace chez l'enfant. Paris, 1948.

КАК ДЕТИ ОБРАЗУЮТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ [47] [1953]