VII. Логико-математические аспекты структур

26. Все вышеупомянутые «конкретно-операциональные» структуры предполагают построение и учет определенных количественных отношений: величины классов в классификации (что объясняет трудность квантификации включений классов), различий между элементами в сериации, разных физических величин в опытах на сохранение и т.п. Но даже до построения этих количественных структур, т.е. на дооперациональном уровне можно обнаружить некие частичные структуры и структуры качественного характера, которые представляют большой интерес, потому что об­разуют, так сказать, первую «половину» логики обратимых операций. Это так называемые функции (однонаправленные функции, не имеющие инверсий, которые предполагали бы обратимость) и качественные тождественности (см. п. 10).

Функции, как мы помним, являются «чертежами» в математическом смысле. Они не имеют инверсий, потому что, как мы видели, психологически связаны с целенаправленными схемами действий. Предположим, например, что экспериментатор держит в руках один конец веревки (в), перекинутой через блок, а к другому ее концу подвешен груз, так что одна часть веревки (а) находится под прямым углом к другой ее части (а'). Все дети в возрасте от 4 до 7 лет понимают, что если потянуть за веревку, то одна ее часть (а) станет короче, а другая часть (а') длиннее. Но у них пока отсутствует понимание сохранения длины всей веревки (в) (в = а' + а), и то умственное действие, которое они выполняют, это не квантифициро-

ванная операция, а просто качественное, или ординальное, приравнива­ние (длиннее = дальше).

Сходным образом в случае тождества, как мы видели, все дети (или почти все) соглашаются, что, когда пластилиновый шарик раскатывается в колбаску, он все равно остается «тем же самым» куском пластилина, даже если его количество и не сохраняется прежним. Подобные пред­ставления о тождественности приобретаются очень рано, и упомянутая нами (в п. 2) схема постоянного объекта относится к этим представлени­ям. Брунер в своей книге рассматривает их как источник сохранения ко­личеств. В известном смысле это верно (они составляют необходимое, но недостаточное условие), но при этом остается центральное различие: те или иные качества объекта (на которых основывается качественная тождественность) могут быть установлены перцептивно, тогда как для коли­чественных величин требуется структура, в сложности и длительном раз­витии которой мы только что убедились (п. 23-26). В действительности функции и качественная тождественность составляют только дооперациональную и качественную половину логики, они подготавливают логику обратимых и количественных соответствий, но сами по себе недостаточ­ны, чтобы ее обеспечивать.

27. Количественный аспект конкретных операций в противополож­ность качественной природе дооперациональных функций и тождественностей открывается, в частности, в построении (в возрасте 7-8 лет) опе­раций, связанных с числом и измерением. Эти операции частично изо­морфны друг другу, но совершенно различны по содержанию. Построение количественных чисел нельзя объяснить с помощью одного установления взаимно-однозначных соответствий между эквивалентными классами, как считали Рассел и Уайтхед, потому что такие соответствия в отрыве от качеств (и в отличие от качественных соответствий между отдельными объектами, обладающими одинаковыми свойствами) имплицитно опира­ются на понятие единицы и числа, что приводит к порочному кругу. В дей­ствительности, когда мы имеем дело с конечными множествами, количе­ственные числа нельзя отделить от порядковых, которые отвечают трем следующим условиям:

a) абстракции от качеств, делающей все отдельные объекты эквива­лентными, и поэтому 1 = 1 = 1;

b) упорядочению: 1 → 1 → 1..., которое необходимо для различения объектов друг от друга, иначе было бы справедливо равенство 1 + 1 = 1;

c) включению (1) в (1 + 1), затем (1 + 1) в (1 + 1 + 1) и т.п.

Поэтому целые числа являются результатом синтеза упорядочения (сериация) и включения (классификация), которые необходимы для абст­рагирования от качеств. Отсюда целые числа строятся из чисто логиче-

ских элементов {сериации и классификации), но последние реорганизу­ет, образуя новый синтез, допускающий квантификацию посредством процесса итерации:

1 + 1 = 2 и т.п.

Сходным образом измерение непрерывной величины (континуума, например, линии, поверхности) предполагает: а) ее деление на сегменты, один из которых затем выбирается в качестве единицы и приравнивается к остальным на основе конгруэнтности: а = а = а...; б) определенное упорядочение этих единиц: а → а → а... и т.п. и с) приведение единиц в виде аддитивных композиций: а в (а + а) и (а + а) в (а + а + а). Таким образом, данный синтез разбиения и включения сегментов, а также упорядочения их изоморфен синтезу упорядочения и включения, характеризующему число, что дает возможность использовать число для измерения.

Поэтому ясно, что, и не прибегая ни к чему другому, кроме синтеза элементарных «группировок» включения и порядка, субъект может достичь числовой или метрической квантификации, мощность которой далеко превосходит элементарные квантификации (отношения между частью и целым) классификаций или сериации, основанных на различениях, оцениваемых просто как «больше» или «меньше».

28. Вслед за конкретно-операциональными структурами (упомянутыми в п. 23) в возрасте 11-15 лет происходит построение двух новых структур, делающих возможным применение таких пропозициональных раций, как импликация (р q), несовместимость (p | q), дизъюнкция (р q) и т.п. Такими новыми структурами являются «группа четырех» и комбинаторные операции. Комбинаторика на этой стадии состоит классификации всех возможных классификаций (так же, как переста­ли являются сериацией сериации) аа, аb, ас, be, bb, ее и т.п. и поэтому составляют не полностью новую операцию, но операцию над другими операциями. Сходным образом группа четырех INRC является результатом объединения в целое инверсий N и реципрокностей R (поэтому появ­ится инверсия реципрокности NR = С), так же как и операция тождественности I = NRC <...> Но инверсия уже существовала в группировках классов в форме А – А = 0, а реципрокность – в группировках отношений в виде А = В, откуда В = А. Группа INCR, таким образом, вновь ока­жется операциональной структурой, опирающейся на предшествующие операции. Что до пропозициональных операций р q и т.п., которые включают как комбинаторику, так и группу INRC, то они новы по форме, но по своему содержанию относятся к связям между классами, отношениями или числами, и поэтому они являются операциями над операциями.

Вообще операции, принадлежащие третьему периоду развития (см. п. 10, период с для возраста 11-12 лет), уходят корнями в конкрет­ные операции (подпериод b между 7 и 11 годами), обогащая их, точно так же, как источник конкретных операций лежит в сенсомоторных схемах (период а, до 2 лет), которые они также значительно изменяют и обога­щают. Поэтому последовательный характер стадий (который мы уже в достаточной мере подчеркнули в п. 10) с точки зрения построения струк­тур соответствует механизму, который необходимо проанализировать, потому что он слишком важен, чтобы просто назвать его секвенциаль­ным, или последовательно прогрессирующим, уравновешиванием. Сей­час необходимо понять, как происходят построения, приводящие к воз­никновению чего-то нового (что является хорошо известной проблемой развития математических структур).

29. Мы видели (п. 21, с), что уже на уровнях, предшествующих по­строению логико-математических операций и, следовательно, до возник­новения дедуктивных систем, можно было говорить о логико-математи­ческих экспериментах, извлекающих информацию из свойств действия, совершенного в отношении объекта, а не из самого объекта, что совер­шенно не одно и то же. Поэтому в отличие от абстракции в собственном смысле слова мы в данном случае имеем новый тип абстракции, которую можно назвать рефлексивной и которая является ключом к интересую­щей нас проблеме. Чтобы абстрагировать свойство из действия или опе­рации, недостаточно просто отделить его от тех свойств, которые в даль­нейшем не будут приниматься во внимание (например, выделить «фор­му» и отбросить «содержание»); свойство или форма, выделенные таким образом, должны быть дополнительно транспонированы куда-либо, т.е. перенесены в другой план действия или операции. В случае простой абст­ракции такой проблемы не возникает, поскольку тогда мы имеем дело со свойством объекта, ассимилируемым субъектом. Однако в случае реф­лексивной абстракции, когда субъект извлекает свойство или форму из действий (операций) плана Р₁, он должен затем перенести их в более вы­сокий план Р₂, что является их отражением в квазифизическом смысле (как при отражении луча света). Но для того чтобы данная форма или свойство были ассимилированы в новом плане Р₂, они должны быть ре­конструированы в этом новом плане и подвергнуты новому мыслительно­му процессу, который будет теперь означать «отражение» (рефлексию) в когнитивном смысле. Поэтому «рефлексивную абстракцию» необходимо понимать в обоих смыслах.

Но если для ассимиляции свойств или форм, абстрагированных в пла­не Р₁, необходим новый когнитивный процесс в плане Р₂, то это означа­ет, что новые операции или действия плана Р₂ будут добавлены к опера­циям или действиям плана Р₁, из которого была абстрагирована данная

информация. Следовательно, рефлексивная абстракция по необходимости является конструктивной: она обогащает новыми элементами структуры, выведенные из плана Р₁, что равноценно построению новых структур. Это объясняет, почему конкретные операции, основанные на сенсомоторных схемах, богаче последних и почему то же самое справедливо для пропозициональных, или формальных, операций, которые сами основываются на конкретных операциях. В качестве операций над операциями они добавляют новые способы композиции (комбинатори­ки т.п.).

Но рефлексивная абстракция является общим процессом построения в математике: например, она служила для выделения алгебры как группы операций над операциями арифметики. Таким же образом Кантор построил трансфинитную арифметику: он поставил во взаимно-однозначное соответствие последовательности 1, 2, 3, 4... и 2, 4, 6, 8. Такое действие привело к новому числу, выражающему «мощность (число) исчисляемого», но не принадлежащему ни к одной из последовательностей. Современная теория функций таким же образом строит «морфизмы» и т.п., и то же самое справедливо в отношении «материнских структур » Бурбаки.

Замечательно то, что процесс построения структур, который мы наблюдали в ходе последовательных стадий развития ребенка и в механизмах уравновешивания посредством саморегуляции (в результате возникает саморегуляция с помощью обратной связи высшего порядка, т.е. обратимой операции), совпадает с постоянным процессом конструкции, используемым математикой в ее постоянном развитии. В этом и состоит решение проблемы развития, несводимой ни к эмпирическому процессу открытия «уже готовых» явлений внешнего мира, ни к преформизму или априоризму, также означающим, что все «уже готово» от начала. Мы считаем, что истина лежит между двумя этими крайностями, т.е. в конструктивизме, выражающем тот способ, с помощью которого постоянно обрабатываются новые структуры.

IX. Заключение: от психологии к генетической эпистемологии

30. Теория, которую мы изложили здесь в общих чертах, закономерно носит междисциплинарный характер и включает в дополнение к психологическим понятиям элементы биологии, социологии, лингвистики, логики и эпистемологии. Связь нашей теории с биологией очевидна, поскольку развитие когнитивных функций образует одну из составляющих эпигенетического процесса, в ходе которого организм проходит путь от первых эмбриональных стадий до состояния взрослости. От биологии мы в основном сохранили три следующих положения.

a. Не может быть никакой трансформации организма или поведения без участия факторов эндогенной организации, поскольку фенотип хотя и строится во взаимодействии с окружающей средой, является «ответом» генома (или ответом генетического фонда целой популяции, причем ин­дивидуальный геном будет являться «срезом» этого фонда) на «стрессы» окружающей среды.

b. И наоборот, нет и не может быть такой эпигенетической или фенотипической трансформации, которая не зависела бы от взаимодействия с влияниями внешней среды.

c. Внутри этих взаимодействий происходит непрерывный процесс уравновешивания, или саморегуляции, примером которого может слу­жить уравновешивание между ассимиляцией и аккомодацией. Он также проявляется в сенсомоторных, репрезентативных и дооперациональных саморегуляциях, даже в самих операциях, поскольку последние – антиципирующие саморегуляции и коррекции ошибок, которые не пола­гаются более на обратную связь, исправляющую уже совершенную ошибку.

Отношения с социологией также ясны: даже если источник когнитив­ных структур заключен в общей координации действий, они являются в такой же степени межличностными или социальными, как и индивидуаль­ными, поскольку координация действий индивидуумов подчиняется тем же законам, что и интраиндивидуальная координация. Нельзя сказать, что это справедливо по отношению к социальным процессам, включаю­щим принуждение или авторитарность, которые ведут к социоцентризму, имеющему близкое родство с эгоцентризмом, но дело обстоит именно так в ситуациях сотрудничества (cooperation), представляющего собой «сотрудничество» (co-operations). Одним из фундаментальных процес­сов познания является децентрация, освобождающая субъекта от иллю­зий (см. п. 8), и данный процесс имеет как социальные, или межличност­ные, так и интеллектуальные аспекты.

Установление отношений с лингвистикой имело бы мало смысла, если бы лингвисты продолжали защищать, подобно Блумфилду, позиции наив­ного антиментализма. Но мы можем одобрить позицию «субъективного бихевиоризма» (формулировка Миллера), а непосредственно в лингви­стике – современные работы Хомского и его группы по трансформаци­онным грамматикам, которые не очень далеки от нашего психогенетиче­ского конструктивизма и операциональной позиции. Однако Хомский ве­рит в наследственную обусловленность открытых им лингвистических структур, в то время как можно показать, что всем условиям, необходи­мым и достаточным для построения таких базисных единиц, на которых основываются лингвистические структуры, удовлетворяет развитие сен­сомоторных схем (над чем работает Синклер).

Отношения нашей теории с логикой сложнее. Современная символическая логика является «логикой без субъекта», тогда как психологически «субъекта без логики» не существует. Нельзя отрицать, что логика субъекта бедна и, в частности, структуры группировок малоинтересны в алгебраическом смысле, хотя уже имеются признаки того, что связанные с ними элементарные структуры начинают вызывать у математиков интерес. Тем не менее, необходимо отметить, что в ходе изучения логики субъекта в 1949 г. нам удалось сформулировать законы группы четырех пропозициональных операций INRC еще до того, как ее начала исследовать логика. С другой стороны, текущие работы о пределах формализации, начатые с теорем Гёделя, будут с большей или меньшей необходимостью ориентировать логику по направлению к конструктивизму того или иного рода, и в этом свете параллель с психогенетической конструкцией приобретает определенный интерес. Вообще говоря, логика является аксиоматической системой, а применительно к нашему предмету мы должны спросить: аксиоматикой чего? Определенно, это не аксиоматика сознательных процессов мышления субъекта, поскольку они не последовательны, обрывочны и т.д. Но за сознательным мышлением находятся «естественные» операторные структуры, и очевидно, что, хотя можно бесконечно превосходить их (поскольку продуктивность аксиоматизации формально не имеет предела), они составляют основу логической аксиоматизации посредством процесса «рефлексивной абстракции».

31. Наконец, остается большая проблема отношений между теорией развития когнитивных функций и эпистемологией. Если принять статическую, а не психогенетическую точку зрения, и, исходя из нее, изучать, например, интеллект только взрослого или испытуемых одного уровня, то нетрудно отделить психологические проблемы (как функционирует интеллект, и каковы его «рабочие характеристики») от эпистемологических (каковы отношения между субъектом и объектами и достаточно ли у первого знаний для адекватного постижения последних). Но если занять психологическую точку зрения, то ситуация меняется, так как предметом изучения становится формирование или развитие знания, а для этого то рассмотреть роль объектов и деятельности субъекта. Так мы знаем перед вопросом, неизбежно поднимающим все проблемы эпистемологии. На деле те, которые относят формирование знания исключительно на счет приобретения опыта (физического опыта), и те, которые признают необходимость деятельности субъекта с присущей ей организацией, ориентируются на разные эпистемологии. Различать два типа опыта, это мы делали (см. п. 21): один – физический с абстракцией, идущей от объектов, и второй – логико-математический на основе рефлексивной абстракции, – значит осуществлять такой психологический анализ, эпистемологические следствия которого вполне ясны.

Имеется немало авторов, которые недооценивают важность взаимо­связей между генетической психологией и эпистемологией, но это озна­чает только то, что среди многих возможных они выбирают одну эписте­мологию и верят, что истинность их выбора очевидна. Когда, например, Брунер пытается объяснить сохранение посредством тождеств и симво­лизации, основанной на языке и воображении, и полагает, что при этом ему удается избежать операций и всякой эпистемологии, на самом деле он просто становится на точку зрения эмпирической эпистемологии. В то же самое время он прибегает к помощи операции тождественности, не замечая при этом, что она предполагает и другие операции. Когда же мы даем сохранению операциональное объяснение и предполагаем, что для построения количеств требуется сложная конструкция, а не просто пер­цептивная деятельность, мы de facto перемещаем свою точку зрения от полюса эмпиризма в направлении конструктивизма, который представ­ляет собой эпистемологию другого рода; и более того, такая эпистемоло­гия ближе к современным тенденциям развития биологии, подчеркиваю­щим необходимость конструктивных саморегуляции.

Сама эпистемологическая концепция также может значительно раз­личаться в зависимости от того, занимает ли исследователь статическую или же историческую и генетическую точку зрения (последняя отвечает ее естественным внутренним тенденциям). Задавшись вопросом, что есть знание вообще, эпистемология считает себя способной построить свои абстракции без обращения к психологии, потому что когда знание достиг­нуто, субъект фактически исчезает со сцены. Однако на деле это тоже яв­ляется большой иллюзией, поскольку вся эпистемология, даже когда пы­тается свести к минимуму деятельность субъекта, имплицитно прибегает к психологическим интерпретациям. Например, логический эмпиризм пытается свести физическое знание к перцептивным состояниям, а логи­ко-математическое знание – к законам идеального языка (со своим син­таксисом, семантикой и прагматикой, но без всякого упоминания о транс­формирующих действиях). К тому же вот две в высшей степени противо­речащие этому гипотезы: первая – физический опыт зиждется на дейст­виях, а не только на восприятиях, и всегда предполагает логико-матема­тический каркас, выведенный из общей координации действий (такого вида, что операционализм Бриджмена должен быть дополнен операционализмом Пиаже!). Вторая – логико-математическое знание не тавто­логия, оно представляет собой структурную организацию, выведенную посредством рефлексивной абстракции из общей координации действий и операций субъекта.

Но, что еще важнее, эпистемология, основывающаяся на статической точке зрения, невозможна и потому, что все научное, знание, включая саму математику и логику, находится в вечном развитии (созидательный

аспект которого стал очевиден после теорем Гёделя, показавшего невоз­можность завершенной теории и поэтому постоянную необходимость построения концепции еще более сильной: отсюда следует неизбежность существования пределов формализации!). Как писал в 1910 г. Наторп: «… что есть факт, если, как мы знаем, наука непрерывно эволюциониру­ет? Становление, метод являются всем... Поэтому научный факт может быть понят только как « fieri » [33]. Только « fieri » составляет факт. Всякой сущности (или объекту), которые наука пытается зафиксировать, предстоит вновь раствориться в потоке становления. В конечном счете, только о становлении и о нем одном можно сказать: «оно есть (факт)». Следовательно, единственное, что мы имеем право и можем искать – это закон данного процесса» [1910. С. 15].

32. Эти неоспоримые заявления равносильны утверждению принципа нашей «генетической эпистемологии». Для того чтобы решить проблему, что такое знание или многообразие его форм, необходимо сформулировать ее с помощью следующих вопросов: как развивается знание? Посредством какого процесса осуществляется переход от знания, рассмат­риваемого как крайне недостаточное, к знанию более полному (с научной точки зрения!)? Это как раз то, что хорошо понимали сторонники историко-критического метода (см. среди прочих работы Куре и Куна). Эти критики, для того чтобы понять эпистемологическую природу понятия или структуры, сначала попытались рассмотреть, как они были сформи­рованы.

Если занять скорее динамическую, чем статическую точку зрения, то становится невозможным сохранить традиционные барьеры между эпистемологией и психогенезом когнитивных функций. Если эпистемология определена как изучение формирования достоверного знания, то она поднимает вопросы о достоверности знания, зависящего от логики и конкретных наук, а также вопросы о факте существования знания, поскольку проблема встает не только формально, но и реально: как в действительности возможна наука? Поэтому эпистемология любого рода обязана обращаться к психологическим предположениям, что справедливо как для логического позитивизма (восприятие и язык), так и для Платона (реминисценция) или Гуссерля (интуиция, интенция, сигнификация и т.п.). Единственный остающийся вопрос: довольствоваться ли спекулятивной психологией или же полезнее обратиться к научной?! Вот почему мы создали Международный центр генетической эпистемологии, чтобы здесь могли сотрудничать психологи, логики, кибернетики, эпистемологии, лингвисты, математики, физики (в зависимости от рассматриваемых проблем).

Таким образом, мы стали изучать взаимосвязи логических структур с двоякой точки зрения – их психологического генезиса и их формальной генеалогии, что позволило нам обнаружить определенную конвергенцию между двумя методами. Мы изучали проблему, иронически названную ве­ликим логиком Куайном «догмой» логического эмпиризма, – проблему, так сказать, полного разграничения аналитического и синтетического, и обнаружили, что все авторы, занимавшиеся данным вопросом, обраща­лись к помощи фактического материала. Мы подвергли данный матери­ал экспериментальной проверке и нашли, что между этими двумя видами отношений, некорректно рассматривавшимися как не связанные друг с другом, существуют многочисленные промежуточные ступени.

Мы также изучали проблемы развития понятий числа, пространства, времени, скорости, функции, тождественности, и нам удалось получить по всем этим вопросам новый материал о психологическом генезисе, ве­дущий к эпистемологическим выводам, равно отстоящим как от априо­ризма, так и от эмпиризма, но предполагающий систематический конст­руктивизм. Что до эмпиризма, то мы, помимо прочего, анализировали условия, необходимые для адекватной интерпретации опыта, и в резуль­тате можем привести слова одного математика и философа: «Эмпириче­ское изучение эмпирики изгоняет эмпиризм!» Выше мы упомянули неко­торые наши исследования о роли научения (п. 14).

Одним словом, по нашему мнению, психологическая теория развития когнитивных функций устанавливает прямые и даже, можно сказать, ин­тимные отношения между биологическими понятиями взаимодействия эндогенных факторов и окружающей среды, с одной стороны, и эписте­мологическими понятиями необходимого взаимодействия субъекта и объектов – с другой. Синтез понятий структуры и генезиса, определяю­щий исследование психического развития, находит свое оправдание в биологических идеях саморегуляции и организации и затрагивает эписте­мологический конструктивизм, который, как нам представляется, согла­суется со всей современной научной работой и, в частности, с исследо­ваниями, касающимися соответствия логико-математических структур и физического опыта.

ЛИТЕРАТУРА.

Apostel L Logique et équilibre // Etudes d'ÉpistÉmologie Génétique II. Paris, 1957.

Berlyne D., Piaget J. Théorie du comportement et opérations // Etudes d'Épistémologie Génétique XII. Paris, 1960.

BrunerJ. The process of education. Cambridge, 1960.

Chomsky N. Review of B.F. Skinner// Verbal Behavior in Language. 1959. 35, (1). P. 26-58.

Chomsky N. Syntactic structures. The Hague: Mouton, 1957.

Gréco P. Apprentissage et connaissance, ler et II parties // Etudes d'Épistémologie Génétique VII. Paris, 1959.

Inhelder В., Bovet M., Sinclair H. Développement et apprentissage // Revue Suisse de psychologie. 1967. № 26. P. 1-23.

Kohnstamm G.A. La méthode génétique en psychologie // Psychologie franchise. 1956. №10.

Laurendeau M., Pinard A. Psychologie et épistémologie génétique. Paris, 1966.

Morf A., Smedslund J., Vinh Bang, Wohlwill J. L'apprentissage des structures logiques//Etudes d'Épistémologie Génétique IX. Paris^ 1959.

Natorp P. Die logischen Grundlagen des exacten Wissenschaften. Berlin, 1910.

Piaget J. Traité de logtque. Colin, 1959.

Piaget J. Les mecanismes perceptifs. Paris, 1961. (Contains contributions of Vinh Bang, Gonheim, Noelting, Dadsetan.)

Piaget J., Inhelder B. L'imagé mentale chez l'enfant. Paris, 1966.

Pitts W., McCulloch W.S. How we know universals: the perception of auditory and visual forms. Bull. Math. Biophys. 1947. Vol. 9. P. 127-147.

Sinclair de Zwart H. Acquisition du langage et développement de la pensée. Paris, 1967

Waddington C.H. The strategy of the genes. London, 1957.

ПСИХОЛОГИЯ, МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ И СИСТЕМА НАУК [34] [1966]