Найти матрицу в базисе из собственных векторов

Если собственные векторы матрицы образуют базис, то она представима в виде:

, где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица из собственных чисел.

Такое разложение матрицы также называют каноническим или диагональным.

Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы и образуют базис. Составим матрицу из их координат:

На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю:

Подчёркиваю важность порядка: перестановка «двойки» и «тройки» недопустима! Точнее, переставить числа можно: , но тогда и в матрице следует поменять местами собственные векторы: .

По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Жордано-Гаусса нетрудно получить . Это не опечатка – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей.

Таким образом, матрица запишется в следующем виде:

Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно .

Каноническое разложение матрицы бывает удобно использовать в ряде задач, поскольку оно значительно упрощает некоторые матричные операции.

Пример 3

Записать матрицу в базисе из собственных векторов

Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены кратные собственные числа.

Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений:

Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что .

Таким образом, кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор .

! Примечание: в общем случае такое утверждение неверно!

Канонические разложение матрицы имеет вид , и в нашей ситуации данного разложения не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например , в пару не годится (хотя бы по той причине, что и обратной матрицы попросту не существует).

Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо.

Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах.

Задача с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью:

Пример 4

Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

Решение: немного другая формулировка задачи смущать не должна – генеральная линия партии остаётся прежней. Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером №1, я же ограничусь «рабочим» решением примера.

По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа.

Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы и составим её характеристическое уравнение:

Определитель раскроем по первому столбцу:

На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-ей степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере №1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей:

Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части:

Выполненное действие не привело к заметному результату.

Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен . Решив квадратное уравнение, получаем .

Таким образом:

Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения:

Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге:

Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее.

Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания:

Найдем собственные векторы:

1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы:

Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение:

Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует, что .

И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение , то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена/решена система.

Компактные координаты даёт значение

Собственный вектор:

Крайне желательно проверить, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило.