Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов?

Так, у демонстрационной квадратной матрицы ровно два собственных значения, причём одно из них нам уже известно: . Второе собственное число гипотетически тоже может равняться «двойке» (но чаще всего, и здесь – в частности, собственные значения различны).

Могут ли собственные числа быть комплексными? Да, некоторые или все собственные значения могут быть комплексными. При этом алгоритм решения типовой задачи будет точно таким же. Однако на практике мне таких заданий не встречалось, поэтому в примерах данной статьи я ограничусь действительными собственными числами.

Что касается количества собственных векторов, то с ними ситуация занятнее. Любой вектор, который коллинеарен вектору тоже будет собственным вектором. Действительно, если взять пропорциональные столбцы, скажем, или , то совсем несложно убедиться в равенствах:

И с этой точки зрения у матрицы бесконечно много собственных векторов. Но ходить туда-сюда по одной и той же тропинке скучно и уныло, поэтому под рассматриваемым вопросом всегда подразумевают количество линейно независимых (неколлинеарных) собственных векторов.

У квадратной матрицы размером существует не более чем собственных векторов.