Полезность

1. В тексте говорится, что возведение в нечетную степень представляет собой монотонное преобразование. А что можно сказать о возведении в четную степень? Является ли оно монотонным преобразованием? (Под­сказка: рассмотрите случай f (u)= u ².)

2. Какие из указанных преобразований являются монотонными? 1) u =2 v –13; 2) u =–1/ v ²; 3) u =1/ v ²;
4) u =ln v; 5) u =– e ^{– v} ; 6) u = v ²; 7) u = v ² для v >0; 8) u = v ² для v <0.

3. В тексте утверждается, что в случае монотонных предпочтений диагональная линия, проходящая через начало координат, пересечет каждую кривую безразличия в точности один раз. Можете ли вы дать строгое доказательство этого? (Подсказка: что произошло бы, если бы эта линия пересекла какую-нибудь кривую безразличия дважды?)

4. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида u (x ₁, x ₂)=(x ₁+ x ₂)^1/2? Что можно сказать в этом смысле о функции полез­ности v (x ₁, x ₂)=13 x ₁+13 x ₂?

5. Какого рода предпочтения представлены функцией полезности вида u (x ₁, x ₂)= x ₁+ x ₂^1/2? Является ли функция полезности v (x ₁, x ₂)= x ₁²+2 x ₁ x ₂^1/2+ x ₂ монотонным преобразованием функции u (x ₁, x ₂)?

6. Рассмотрим функцию полезности u (x ₁, x ₂)=(x ₁ x ₂)^1/2. Предпочтения какого рода она представляет? Является ли функция v (x ₁, x ₂)= x ₁² x ₂ монотонным преобразованием функции u (x ₁, x ₂)? Является ли функция w (x ₁, x ₂)= x ₁² x ₂² монотонным преобразо-ванием функции u (x ₁, x ₂)?

7. Можете ли вы объяснить, почему проведение монотонного преобра­зования функции полезности не изменяет предельной нормы замещения?

Выбор

1. Какова функция спроса на товар 2 в случае, если два товара являются совершенными субститутами?

2. Предположим, что кривые безразличия представляют собой прямые линии с наклоном, равным – b. Как будет выглядеть оптимальный выбор потребителя при заданных произвольных ценах p₁,p₂ и денежном доходе m?

3. Предположим, что потребитель всегда выпивает одну чашку кофе с двумя ложками сахара. Сколько кофе и сахара захочет купить потребитель, если цена ложки сахара равна p ₁, цена чашки кофе равна p ₂ и потребитель может потратить на эти товары m долларов?

4. Предположим, что ваши предпочтения в отношении мороженого и оливок описываются вогнутыми кривыми безразличия, подобными приведенным в тексте настоящей главы, и что вы можете потратить на эти товары m долларов, а их цены составляют соответственно р₁ и p₂. Перечислите варианты выбора оптимальных потребительских наборов.

5. Если функция полезности для данного потребителя имеет вид u (x ₁, x ₂)= x ₁ x ₂⁴, то какую долю своего дохода он будет тратить на товар 2?

6. При какого рода предпочтениях благосостояние потребителя будет одинаковым как в случае налога на объем покупок, так и в случае подоходного налога?

Спрос

1. Если потребитель потребляет только два товара и всегда тратит на них весь свой доход, то могут ли оба этих товара быть товарами низшей категории?

2. Покажите, что совершенные субституты являют собой пример гомотетичных предпочтений.

3. Покажите, что предпочтения Кобба-Дугласа гомотетичны.

4. Кривая "доход – потребление" для кривой Энгеля то же, что кривая "це­на – потребление" для...?

5. Если предпочтения описываются кривыми безразличия, выпуклыми от начала координат, то может ли потребитель потреблять оба товара вместе?

6. Каков вид обратной функции спроса на товар 1 в случае совершенных комплементов?