Уравнения вращения в векторном виде

С помощью векторного произведения записываются очень многие уравнения физики. Сразу видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу:

N = r ´ F

(это краткая запись трех уравнений: N_x = yF_z - zF_y и т.д.)

Аналогично, момент импульса

L = r ´ p

Векторная форма динамического закона вращения в трехмерном пространстве напоминает уравнение Ньютона (F = d p / dt):

N = d L / dt

Если сложить аналогичные уравнения для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующих на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения:

N _внеш = d L _полн/ dt

При N _внеш = 0 получаем закон сохранения момента количества движения:

если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества движения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Да.

Предположим, что тело одновременно вращается вокруг двух осей (тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси). Результатом такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Эта новая ось может быть найдена следующим образом. Если вращение в плоскости ху представить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направленного вдоль оси у, изобразить скорость вращения в плоскости zx, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим результат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту говоря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоугольные проекции вектора на оси, перпендикулярные этим плоскостям. Это не самоочевидно, а доказывается с помощью рассмотрения перемещения частиц твердого тела за бесконечно малый промежуток времени D t.

Примеры использования вектора угловой скорости

Скорость v какой-то точки (характеризуемой радиус-вектором r) тела, вращающегося с угловой скоростью w можно задать выражением v = w ´ r.

Кориолисову силу инерции во вращающейся системе отсчета можно записать в виде F _K = 2 m v ´ w. Иначе говоря, если в системе координат, вращающейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и мы хотим описать ее движение через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу F _K.