Построение касательных к окружностям

Рассмотрим задачу, лежащую в основе решения других задач на проведение касательных к окружностям. Пусть из точки А (рис. 1.29) необходимо провести касательные к окружности с центром в точке О.

При построении касательных к двум окружностям различают касательные внешние и внутренние. Если центры заданных ок­ружностей располагаются по одну сторону от касательной, то ее считают внешней, а если центры окружностей находятся по раз­ные стороны от касательной, то — внутренней.

Пусть заданы ок­ружности с центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.30), имеющие радиусы R₁ и R₂ соответственно. Требуется провести внешние каса­тельные.

Используя описанный ранее способ, из точки О₂ проводят внешние касательные к окружности с радиусом R₃, т.е. соединя­ют точки О₁ и О₂, делят точкой С отрезок О₁О₂ пополам и прово­дят радиусом СО₁ дугу, пересечение которой с заданной окруж­ностью определит точки касания прямых О₂К₁ и О₂К₂.

Точки А₁ и А₂ касания искомых прямых к большей окружности располагаются на продолжении прямых О₁К₁ и О₁К₂. Точки В₁ и В₂ касания прямых к меньшей окружности находятся на перпенди­кулярах с основанием О₂ к вспомогательным касательным О₂К₁ и О₂К₂ соответственно. Располагая точками касания, можно провес­ти искомые прямые А₁В₁ и А₂В₂.

Пусть заданы окружности с центрами в точках О₁ и О₂ (рис. 1.31), имеющие радиусы R₁ и R₂ соответственно. Требуется провести внутренние касательные.

Для определения точек касания прямых к окружностям исполь­зуем рассуждения, аналогичные приведенным при решении пре­дыдущей задачи. Если уменьшить радиус R₂ до нуля, то окружность с центром О₂ обратится в точку. Однако в этом случае для сохранения параллельности вспомогательных касательных с ис­комыми радиус R₁ следует увеличить на значение R₂ и провести окружность радиусом R₃, равным сумме R₁ и R₂.

Из точки О₂ необходимо провести касательные к окружности, имеющей радиус R₃, для чего надо соединить точки О₁ и О₂, раз­делить точкой С отрезок О₁О₂ пополам и провести дугу окружно­сти с центром в точке С и радиусом СО₁. Пересечение этой дуги с окружностью, имеющей радиус R₃, определит положение точек К₁ и К₂ касания вспомогательных прямых О₂К₁ и О₂К₂.

Точки А₁ и А₂ касания искомых прямых с окружностью, име­ющей радиус R₁ находятся на ее пересечении с отрезками О₁К₁ и О₁К₂. Для определения точек В₁ и В₂ касания искомых прямых с окружностью, имеющей радиус R₂, следует из точки О₂ восста­вить перпендикуляры к вспомогательным прямым О₂К₁ и О₂К₂ до пересечения с заданной окружностью. Располагая точками каса­ния искомых прямых и заданных окружностей, можно провести прямые А₁В₁ и А₂В₂.

Литература

Инженерная графика (металлообработка): учебник для стул. сред. проф. образования/А. М.Бродский, Э.М.Фазлулин, В.А.Халдинов. — 3-е изд., испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2007. — 400 с.