Різні види рівнянь прямої в просторі

Пряма в просторі

Нехай у просторі в прямокутній системі координат задана пряма , її напрямний вектор і точка , що належить цій прямій. Візьмемо довільну точку на цій прямій (рис. 1).

Як зазначалося в п. 9.2.1, векторне параметричне рівняння прямої як на площині, так і в просторі має вигляд (9.5):

, (1)

де – радіус-вектор змінної точки М, – радіус-вектор заданої точки М ₀, – ненульовий напрямний вектор прямої, – параметр.

Аналогічно одержимо відповідно:

1) канонічні рівняння прямої в просторі , (2)

2) параметричні рівняння прямої в просторі (3)

зокрема, ці рівняння можуть бути записані у вигляді , (4)

де – кути, утворені прямою з координатними осями, причому напрямні косинуси обраховуються за формулами

; (5)

3) рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки і

. (6)

Розглянемо випадки розташування прямої у просторі, коли в рівняннях (2), (3), (6) одна або дві координати напрямного вектора дорівнюють нулю (ситуація, при якій або , неможлива, бо за означенням напрямний вектор ненульовий) у вигляді таблиці 1

Приклад. 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і перетинає вісь Ох під прямим кутом.

… Так як пряма перпендикулярна вісі Ох, то згідно з таблицею 1 рівняння цієї прямої матиме вигляд , де . Точка належить цій прямій, значить, її координати задовольняють рівняння цієї прямої, тобто . Отже, шукане канонічне рівняння має вигляд . †

Таблиця 1

Значення координат напрямного вектора	Вигляд рівняння	Розташування прямої в просторі
		Перпендикулярна вісі .
		Перпендикулярна вісі .
		Перпендикулярна вісі .
		Паралельна вісі .
		Паралельна вісі .
		Паралельна вісі .

Відомо, що дві непаралельні площини перетинаються по прямій лінії. Отже, система рівнянь двох площин П ₁ і П ₂

(7)

нормальні вектори яких і не колінеарні, визначає пряму лінію. Рівняння (7) називаються загальними рівняннями прямої в просторі.

Приклад. 2. Побудувати пряму

.

… Шукану пряму можна побудувати як лінію перетину площин. Для цього запишемо рівняння цих площин у відрізках на осях:

і .

Побудувавши данні площини, одержимо шукану пряму (рис. 2). †

Виключивши по черзі з рівнянь (7) х і у, одержимо рівняння прямої, яка визначається площинами, що проектують її на координатні площини Охz і Оуz:

(8)

Щоб від загальних рівнянь (7) перейти до канонічних рівнянь (3), потрібно знайти точку , що належить цій прямій, та її напрямний вектор . Для знаходження точки М ₀ одну з її координат, наприклад, беруть довільною, а дві інші визначають із системи

Ця система матиме розв’язок за умови . Якщо ця умова порушується, то в системі (7) довільне значення надають змінній у або змінній z. Для знаходження напрямного вектора , врахуємо, що нормальні вектори і даних площин перпендикулярні до прямої (рис. 3). Тому за вектор можна взяти векторний добуток нормальних векторів:

. (9)

Приклад. 3. Звести до канонічного вигляду загальні рівняння прямої

… І спосіб. Виключивши спочатку у, а потім z, одержимо аналогічно (8) Якщо розв’язати кожне рівняння системи відносно х, то отримаємо .

ІІ спосіб. Знайдемо за формулою (9), де і , напрямний вектор шуканої прямої

.

Поклавши тепер в початковій системі , отримаємо систему . Розв’язуючи цю систему, знайдемо ординату та аплікату точки, яка належить даній прямій, . Отже, дана пряма має канонічні рівняння . †