Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Різні види рівнянь прямої в просторі





Пряма в просторі

Нехай у просторі в прямокутній системі координат задана пряма , її напрямний вектор і точка , що належить цій прямій. Візьмемо довільну точку на цій прямій (рис. 1).

Як зазначалося в п. 9.2.1, векторне параметричне рівняння прямої як на площині, так і в просторі має вигляд (9.5):

, (1)

де – радіус-вектор змінної точки М, – радіус-вектор заданої точки М0, – ненульовий напрямний вектор прямої, – параметр.

Аналогічно одержимо відповідно:

1) канонічні рівняння прямої в просторі , (2)

2) параметричні рівняння прямої в просторі (3)

зокрема, ці рівняння можуть бути записані у вигляді , (4)

де – кути, утворені прямою з координатними осями, причому напрямні косинуси обраховуються за формулами

; (5)

3) рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві задані точки і

. (6)

Розглянемо випадки розташування прямої у просторі, коли в рівняннях (2), (3), (6) одна або дві координати напрямного вектора дорівнюють нулю (ситуація, при якій або , неможлива, бо за означенням напрямний вектор ненульовий) у вигляді таблиці 1

Приклад. 1. Скласти канонічне рівняння прямої, що проходить через точку і перетинає вісь Ох під прямим кутом.

… Так як пряма перпендикулярна вісі Ох, то згідно з таблицею 1 рівняння цієї прямої матиме вигляд , де . Точка належить цій прямій, значить, її координати задовольняють рівняння цієї прямої, тобто . Отже, шукане канонічне рівняння має вигляд . †

Таблиця 1

Значення координат напрямного вектора Вигляд рівняння Розташування прямої в просторі
Перпендикулярна вісі .
Перпендикулярна вісі .
Перпендикулярна вісі .
Паралельна вісі .
Паралельна вісі .
Паралельна вісі .

Відомо, що дві непаралельні площини перетинаються по прямій лінії. Отже, система рівнянь двох площин П1 і П2

(7)

нормальні вектори яких і не колінеарні, визначає пряму лінію. Рівняння (7) називаються загальними рівняннями прямої в просторі.

 

Приклад. 2. Побудувати пряму

.

… Шукану пряму можна побудувати як лінію перетину площин. Для цього запишемо рівняння цих площин у відрізках на осях:

і .

Побудувавши данні площини, одержимо шукану пряму (рис. 2). †

 

Виключивши по черзі з рівнянь (7) х і у, одержимо рівняння прямої, яка визначається площинами, що проектують її на координатні площини Охz і Оуz:

(8)

Щоб від загальних рівнянь (7) перейти до канонічних рівнянь (3), потрібно знайти точку , що належить цій прямій, та її напрямний вектор . Для знаходження точки М0 одну з її координат, наприклад, беруть довільною, а дві інші визначають із системи

Ця система матиме розв’язок за умови . Якщо ця умова порушується, то в системі (7) довільне значення надають змінній у або змінній z. Для знаходження напрямного вектора , врахуємо, що нормальні вектори і даних площин перпендикулярні до прямої (рис. 3). Тому за вектор можна взяти векторний добуток нормальних векторів:

. (9)

 

Приклад. 3.Звести до канонічного вигляду загальні рівняння прямої

І спосіб. Виключивши спочатку у, а потім z, одержимо аналогічно (8) Якщо розв’язати кожне рівняння системи відносно х, то отримаємо .

ІІ спосіб. Знайдемо за формулою (9), де і , напрямний вектор шуканої прямої

.

Поклавши тепер в початковій системі , отримаємо систему . Розв’язуючи цю систему, знайдемо ординату та аплікату точки, яка належить даній прямій, . Отже, дана пряма має канонічні рівняння . †








Date: 2015-07-23; view: 780; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.006 sec.) - Пожаловаться на публикацию