Логические законы и правила преобразования логических выражений

Алгоритм построения логических схем.

1. Определить число логических переменных.

2. Определить количество логических операций и их порядок.

3. Изобразить для каждой логической операции соответствующий ей логический элемент.

4. Соединить логические элементы в порядке выполнения логических операций.

Пример. По заданной логической функции построить логическую схему.

Решение.

1. Число логических переменных = 2 (A и B).

2. Количество операций = 5 (2 инверсии, 2 конъюнкции, 1 дизъюнкция). Сначала выполняются операции инверсии, затем конъюнкции, в последнюю очередь операция дизъюнкции.

3. Схема будет содержать 2 инвертора, 2 конъюнктора и 1 дизъюнктор.

4. Построение надо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней. В данном случае такой операцией является логическое сложение, следовательно, на выходе должен быть дизъюнктор. На него сигналы подаются с двух конъюнкторов, на которые, в свою очередь, подаются один входной сигнал нормальный и один инвертированный (с инверторов).

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Если две формулы А и В одновременно, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений.

1) Закон двойного отрицания:

;

2) Переместительный (коммутативный) закон:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

3) Сочетательный (ассоциативный) закон:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

4) Распределительный (дистрибутивный) закон:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

5) Законы де Моргана:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

6) Закон идемпотентности:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

7) Законы исключения констант:

для логического сложения: , ;

для логического умножения: , ;

8) Закон противоречия:

;

9) Закон исключения третьего:

;

10) Закон поглощения:

для логического сложения: ;

для логического умножения: ;

11) Правило исключения импликации:

;

12) Правило исключения эквиваленции:

.

Справедливость этих законов можно доказать составив таблицу истинности выражений в правой и левой части и сравнив соответствующие значения.

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Пример: Упростить логическое выражение .

Решение:

Согласно закону де Моргана:

.

Согласно сочетательному закону:

.

Согласно закону противоречия и закону идемпотентности:

.

Согласно закону исключения 0:

Окончательно получаем

С дополнительным теоретическим материалом можно ознакомиться в литературе [2, 7].

Задания

1. Составить таблицу истинности логического выражения C.

Варианты задания:

№ варианта	C

2. Построить логическую схему функции F(A,B).

Варианты задания:

№ варианта	F(A,B)

3. Упростить логическое выражение D.

Варианты задания:

№ варианта	D

Содержание отчета

1. Текст задания (с данными своего варианта).

2. Представление по каждому пункту задания подробного решения.

Технология выполнения работы

В данной работе необходимо составить таблицу истинности логического выражения, построить схему логической функции и упростить логическое выражение заданные каждому студенту в соответствии с его вариантом, записать ход рассуждений и полученные результаты.

Вопросы для защиты работы

1. Что такое высказывание (приведите пример)?

2. Что такое составное высказывание (приведите пример)?

3. Как называются и как обозначаются (в языке математики) следующие операции: ИЛИ, НЕ, И, ЕСЛИ … ТО, ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, ЛИБО …ЛИБО?

4. Укажите приоритеты выполнения логических операций.

5. Составьте таблицу истинности для следующих операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

6. Изобразите функциональные элементы: конъюнктор, дизъюнктор, инвертор.

7. Какие логические выражения называются равносильными?

8. Записать основные законы алгебры логики.