Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

• Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и bравен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = a × b]

• Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a иb равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Примеры задач на вычисления векторного произведения векторов

Пример 1.

Найти векторное произведение векторов a = {1; 2; 3} и b = {2; 1; -2}.

Решение:

= i (2 · (-2) - 3 · 1) - j (1 · (-2) - 2 · 3) + k (1 · 1 - 2 · 2) =

= i (-4 - 3) - j (-2 - 6) + k (1 - 4) = -7 i + 8 j - 3 k = {-7; 8; -3}

Пример 2.

Найти площадь треугольника образованного векторамиa = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

= i (2 · (-1) - (-2) · 1) - j ((-1) · (-1) - (-2) · 2) + k ((-1) · 1 - 2 · 2) =

= i (-2 + 2) - j (1 + 4) + k (-1 - 4) = -5 j - 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

Ответ: SΔ = 2.5√2.