Пример задачи на разложение вектора по базисным векторам

Пример 1.

Разложить вектор b = {8; 1} по базисным векторам p = {1; 2} и q = {3; 1}.

Решение: Составим векторное уравнение:

xp + yq = b,

которое можно записать в виде системы линейных уравнений

	1x + 3y = 8
2x + 1y = 1

из первого уравнения выражаем x

	x = 8 - 3y
2x + y = 1

Подставим x во второе уравнение

	x = 8 - 3y
2(8 - 3y) + y = 1

	x = 8 - 3y
16 - 6y + y = 1

	x = 8 - 3y
5y = 15

	x = 8 - 3y
y = 3

	x = 8 - 3·3
y = 3

	x = -1
y = 3

Ответ: b = -p + 3q.

9.Скалярное произведение векторов:
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Если хотя бы один из векторов или равен нулевому вектору, то .

10.Векторное и смешаное произведение векторов:
Определение.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1