Задания для выполнения контрольных работ

Контрольная работа состоит из семи задач. Задание для каждой задачи включает в себя ее формулировку и десять вариантов исходных данных.

Задача 1. Дана функция z = f (x, y). Требуется:

1) найти частные производные и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Номер варианта	Функция	Номер варианта	Функция
	z = ln( + 2 y 3)		z = (y 2 – x) arcsin(2 x)
	z = tg(x – 5 y 2)		z = (y + 4 x)2
	z = + cos(xy)		z = ln3 (2 y – x)
	z = x cos(3 x + 2 y)		z =
	z = x y + sin(x – y)		z = 4 xy 5 –

Задача 2. Найти частные производные , и , если переменные x, y и z связаны равенством вида F (x, y, z) = 0.

Номер варианта	Равенство F (x, y, z) = 0	Номер варианта	Равенство F (x, y, z) = 0
	+ 3 x 2sin y – 2 xz 3 = 0		sin(xy 2) + z 3 xy 2 + z 4 – x = 0
	x + zy + y 2ln x – 2 z = 0		(x – 2 y)4 – 5 + 3cos x – z 5 = 0
	ln(xz 3) + y 3 – 5 x 2 yz 4 + 5 x = 0		cos(y + ez) + xz 5 y + 3 x 3 + 4 = 0
	+ y tg x – zx 5 + 3 y = 0		(z – 2 x)3 + 3 y 4 x – y 2 e 2 z –2 x = 0
	z + + y 2 zx – y 5 = 0		sin2 z + ln(x – y)+ 2 x 4 – 3 yz 2 = 0

Задача 3. Дана сложная функция z= f (x, y, t), где . Найти полную производную .

Номер варианта	Функция z= f (x, y, t)	Функции
	u = (3 t + 2 x 2 – y)3	x = tg t, y =
	u = (4 t – x)	x = , y =
	u = t sin(x 3 + y)	x = + 1, y = t 4
	u = tg(x + t)	x = ln(t 3+ 1), y = t 2
	u =	x = sin3 t, y = 1 – 5 t
	u = sin(x 2 + y) – y	x = , y =
	u =	x = cos4 t, y = sin2 t
	u = x ctg(t – 3 y)	x = 2 – 3 t 2, y =
	u = ln(2 t + x – y 2)	x = sin2 t, y = 3 t –
	u = xy 2 + cos(y + 2 t)	x = – t, y = 2 t – 4

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = f (x, y) и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z = f (x, y).

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М ₀(x ₀, y ₀, z ₀), принадлежащей ей, если x ₀, y ₀ – заданные числа.

Номер варианта	Уравнение поверхности	Значения x 0, y 0
	z = 3 y – x 2 y + x	x 0 = 1, y 0 = 5
	z = + 3 x – y 2	x 0 = 1, y 0 = –1
	z = + x 3 – 5	x 0 = 1, y 0 = 4
	z = y 3 x – y + x 2	x 0 = –1, y 0 = 2
	z = cos y + 2 x 2 – xy	x 0 = 2, y 0 = 0
	z = xy + y 3 + 2 x	x 0 = 2, y 0 = 1
	z = ln(2 x) – xy 3 + y	x 0 = , y 0 = 2
	z = + x 2 y – x 4 + 1	x 0 = –1, y 0 = 0
	z = y sin x + 3 y 2	x 0 = , y 0 = –1
	z = 2 y – + x 5	x 0 = 1, y 0 = 3

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = U(x, y), точка M ₀(x ₀, y ₀) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля U;

2) найти градиент поля в точке M ₀ и производную функции U(x, y) в точке M ₀ по направлению вектора ;

Номер варианта	Скалярное поле	Точка M 0 (x 0, y 0)	Вектор
	U = x 2 + 3 y 2	M 0(1, 1)	= 3 – 4
	U = x 2 – 2 y 2	M 0(2, 1)	= 6 + 8
	U = – 3 y – x 2	M 0(– 1, – 1)	= + 2
	U = y 2 – 4 x	M 0(– 2, 1)	= – 2 + 2
	U = 2 x 2 – y 2	M 0(1, 1)	= – – 3
	U = 2 x 2 + y 2	M 0(1, 2)	= 2 + 2
	U = x 3 – y	M 0(1, – 2)	= – 2 +
	U = 2 x + y 2	M 0(– 2, 1)	= +
	U = (x + 1)2 + y 2	M 0(0, 2)	= – 2
	U = 3 x 2 – y 2	M 0(1, – 1)	= – 2 + 3

Задача 7. Дана функция комплексной переменной (ФКП) w = f (z), где

z = x + iy, и точка z ₀. Требуется:

1) представить ФКП в виде w = u (x, y) + iv (x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

2) проверить, является ли функция w аналитической;

3) в случае аналитичности функции w найти ее производную w ′ в точке z ₀.

№ варианта	Функция w = f (z), точка z 0	№ варианта	Функция w = f (z), точка z 0

Рекомендуемая литература

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с.

3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с.

4. Шипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2007.– 479 с.

5. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 304 с.

6. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учебное пособие для втузов. В 2 ч. Ч.2 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Оникс: Мир и образование, 2005.– 416 с.

7. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Шипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

8. Кручкович Г.И. Сборник задач и упражнений по специальным главам высшей математики: учебное пособие для втузов. / Г.И. Кручкович [и др.], под ред. Г.И. Кручковича. – М.: Высш. шк., 1970.– 512 с.