Проведение касательных к окружности

Задачи на проведение касательных к окружности часто встречаются при построении контуров различных декоративных и архитектурных элементов (орнаментальных композиций, ваз, скоций, гуськов, карнизов, кронштейнов и т.д.).При этомзадача на проведение касательной сводится к построению на окружности точки (точек) касания.

Задача 1. Через т. М провести касательную к окружности k (рис. 1).

1. Соединяем тт. С и М прямой и делим отрезок СМ пополам точкой Р.

2. Строим окружность b радиуса РС из т. Р.

3. Находим тт. А и В пересечения окружностей k и b; это – точки касания.

4. Через тт. А и В проводим касательные t_a и t_b. Проведение нормалей n ясно

изчертежа.

Рис. 1

Построение касательной, как видно из решения задачи, возможно лишь при

наличии центра Р, который даже за неимением центра С заданной дуги k, удаётся отыскать.

Задача 2. Через т. Е провести касательную к дуге окружности k (рис. 2).

1. Через т. Е проведём две произвольные прямые так, чтобы заданная дуга

пересеклась с каждой из них в двух точках – А,В и С,D.

2. Делим каждый из полученных отрезков пополам точками 1 (А1=В1) и 2

(С2=D2).

3. Находим середины Т и L отрезков 1Е и 2Е соответственно.

1. Центр Р лежит на пересечении перпендикуляров, проведённых через тт. Т и L.
2. Проводим из т. О окружность l радиуса R=О1=О2. Дальнейшее ясно из чертежа.

Рис. 2

Задача 3. Через т. F провести касательные tⁱ к окружности k (рис. 3).

Для решения задачи используется свойство полярного соответствия,

котороеизвестно так же как принцип взаимности (см. в любом курсеПроективной геометрии).

1. Через т. F проведём три произвольные секущие 1-2, 3-4 и 5-6.

3. Построим прямую, проходящую через диагональные точки М и N.

4. Полученная прямая пересечёт окружность k в точках касания А и В.

5. Из т. F через тт. А и В проведём касательные t_a и t_b.

Построение принципиально не изменится, если т. F окажется несобственной

(рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5

Данный способ может успешно применяться при построениикасательных и к другим кривым 2-го порядка, например, к эллипсу (рис. 5).

Задача 4. Через т. К на дуге с окружности провести к этой дугекасательную t (рис. 6).

1. Дугой произвольного радиуса из т. К наметим на дуге с тт. 1 и 2.

2. Параллельно хорде 1-2 проведём через т. К искомую касательную t.

Рис. 6