Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Краткая теория. Лабораторная задача QM-7Лабораторная задача QM-7 Распад связанного состояния частицы. Краткая теория. Пусть частица находится в потенциальном поле, представленном на рисун- ке 7.1. По классическим представлениям если энергия частицы E<U0, как показано на рис. 7.1, то частица движется в области I потенциального поля.
Поведение квантовой частицы рассмотрим на примере решения стационар- ного уравнения Шредингера для кусочно-непрерывного потенциального поля (7.1) Пусть также выполнены условия:
Физический смысл первого из этих условий заключается в том, что в по- тенциальной яме 0 < x < a существует уровень энергии (более правиль- но было бы говорить о квазиуровне) с величиной Е < U0. Второе условие означает, что прозрачность потенциального барьера a < x < b экспонен- циально мала.
Как обычно это делается при решении уравнения Шредингера для части-цы, находящейся в кусочно-непрерывном потенциальном поле, разобьем об- ласть 0 < x < ¥ на три области (смотри рис. 7.1). Решение стационарного уравнения Шредингера в каждой из трех областей имеет вид:
, (7.2) ,
где . При записи этих решений было учтено, что в области III существует толь- ко уходящая от барьера волна, возникающая в результате просачивания час- тицы через потенциальный барьер. Кроме этого, принято для области I, что ψ1=0 при x=0, так как в этой точке U → ¥. Из условия непрерывности волновой функции и ее первых производных на границах барьера находим:
A1 sin ka = A2 + B2, A2 cos ka = , (7.3) . Условие совместимости этой системы приводит к следующему уравнению: . (7.4) При b – a → ¥ прозрачность барьера стремится к нулю, а уравнение (7.4) сводится к уравнению для определения дискретных энергетических уровней в потенциальной яме в области I. Это уравнение имеет вид: (7.5) Приближенное решение уравнения (7.4) при выполнении условий ka>>1 и χ(b-a)>>1 может быть записано в виде: k = k0 - iδ, (7.6) где δ<< k0, а k0 – решение уравнения (7.5). Из (7.4) следует, что в первом приближении по
δ a ~ . (7.7)
Переходя к энергиям, получим: , (7.8) где - энергия уровня при нулевой прозрачности барьера. Наличие мнимой части в (7.8) означает убывание по экспоненциальному закону вероятности обнаружить частицу внутри потенциальной ямы (область I на рис. 7.1). Действительно, для величины |ψ(x,t)|2 имеем |ψ(x,t)|2~ . (7.9) Полученные выражения позволяют связать между собой постоянную рас- пада δ и прозрачность барьера D: , (7.10) где . (7.11) Учитывая, что , где V – скорость частицы, выражение (7.10) мож- но записать в виде . (7.12) Здесь - частота соударений частицы со стенками, расстояние между которыми равно а. Поэтому выражение (7.12) может быть понято следу- ющим образом. Частица сталкивается с частично прозрачной стенкой с частотой . При этом с вероятностью D она туннелирует через барьер.
Поэтому среднее время жизни частицы в яме равно . Вероятность обнаружения частицы внутри потенциальной ямы уже не будет постоянной, а будет зависеть от времени. Такие состояния называются квазистационар-ными. Легко видеть, что при возрастании ширины барьера b-a вероятность туннельного эффекта экспоненциально падает, вследствие чего время жизни τ растет. Существенно, что энергия частицы внутри потенциальной ямы уже не имеет строго определенного значения: энергетические уровни оказывают-ся размытыми. Ширину уровней можно определить с помощью соотношения неопределенностей: ΔЕ·τ ~ ћ (7.13) С увеличением проницаемости барьера τ убывает, что приводит к возраста-нию ширины ΔЕ. И наоборот, для абсолютно непрозрачного барьера τ→¥ а ΔE→0, что соответствует стационарному состоянию с точно определен- ным значением энегии. Изложенная теория хорошо объясняет α- распад атомных ядер. В резудьта-те α- распада атомное ядро испускает α- частицу (т. е. ядро атома гелия). Ква- нтовая механика объясняет α- распад как туннелирование α- частиц через по- тенциальный барьер непрямоугольной формы. На рис. 7.2 изображена схема потенциальной энергии α- частицы в поле радиоактивного ядра. Здесь при r<R (внутри ядра) потенциальная энергия α- частицы равна нулю. При r>R на α- частицу действуют силы кулоновского отталкивания с потенциа-льной энергией , где Ze – заряд радиоактивного ядра, 2e – заряд α- частицы. Прозрачность потенциального барьера непрямоугольной формы вычисляется интегриро- ванием: (7.14) Здесь m – масса α- частицы, E – ее энергия. Среднее время жизни радиоак- тивного ядра вычисляется по формуле , где V – скорость α- части-цы в ядре. Расчет по этим формулам даст следующее выражение для τ, полностью совпадающее с опытным законом Гейгера-Неттола: , (7.15) где А и В – постоянные.
|