Работа сил поля при перемещении заряда. Потенциал и разность потенциалов

На электрический заряд, находящийся в поле, действует сила F, поэтому при перемещении заряда q на расстояние dl в электрическом поле с напряженностью совершается работа:

, (1.5)

где a - угол между векторами и dr = dlcosa - проекция перемещения на направление силовой линии (рис. 1.10). Работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от формы траектории. Действительно, работа при перемещении заряда q между точками 1 и 2 в поле точечного заряда Q совершается работа

Рис. 1.10. Перемещение заряда в электростатическом поле

, (1.6)
которая определяется только положениями начальной и конечной точек (расстояниями r₁ и r₂ до заряда Q). Из выражения (1.6) видно, что при перемещении заряда по замкнутой траектории (т.е. когда начальная и конечная точки совпадают и r₁ = r₂) работа равна нулю. Запишем выражение для работы в виде: ,

где E_l=Еcosa - проекция вектора напряженности на направление перемещения. Равенство нулю работы по замкнутой траектории означает равенство нулю интеграла в последнем выражении. Этот интеграл называют циркуляцией вектора . Поскольку любое заряженное тело можно представить как совокупность точечных зарядов, циркуляция будет равной нулю в полях неподвижных зарядов любой конфигурации. Итак, в электростатическом поле циркуляция вектора напряженности равна нулю

. (1.7)

(кружок на знаке интеграла означает, что интегрирование ведется по замкнутому пути). Силовые поля с такими свойствами называются потенциальными, или консервативными.

В курсе "Механика" показано, что работа в потенциальном поле равна изменению потенциальной энергии системы, взятой с противоположным знаком:

, (1.8)

где W ₁, W ₂ - значения потенциальной энергии в начальной и конечной точках. Поскольку энергия заряда в поле, как и работа по перемещению заряда между двумя точками (см.(1.5)), пропорциональна заряду, то отношение энергии к величине заряда есть величина, характеризующая только поле. Эта величина называется потенциалом поля в данной точке:

(1.9)

При этом выражение (1.8) можно переписать в виде:

, (1.10)

где (1.11)

- разность потенциалов между двумя точками, которая численно равна разности потенциальных энергий заряда в этих точках, отнесенной к величине заряда. Сопоставляя с выражением для работы в поле точечного заряда (1.6), получаем, что потенциал точечного заряда

(1.12)

обратно пропорционален первой степени расстояния до заряда.

Как и потенциальная энергия, потенциал определяется с точностью до некоторой постоянной.

Реальные тела имеют конечные размеры, но на очень большом расстоянии поле этих тел может рассматриваться как поле точечных зарядов. Тогда, как следует из (1.12), на бесконечно большом расстоянии от заряженного тела потенциал поля равен нулю[1]. Если положить в выражении (1.10) W₂ и j₂ равными нулю, то можно сказать, что потенциал некоторой точки поля численно равен работе по перемещению единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность: .

Потенциал и разность потенциалов измеряются в вольтах. 1В=1Дж/Кл.

В отличие от напряженности поля, являющейся силовой характеристикой поля, потенциал – его энергетическая характеристика. Связь межу этими величинами можно найти из выражений для работы. Для поля любой конфигурации можно записать: , либо , где dj - изменение потенциала при перемещении вдоль силовой линии на расстояние dr. Знак (-) в правой части отражает связь работы с изменением потенциальной энергии (см. (1.8)). Приравнивая и сокращая на q, получаем связь между напряженностью электрического поля и изменением потенциала:

, (1.13)

Знак (-) означает, что напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала. Из последнего выражения видно, что напряженность электрического поля измеряют в вольтах на метр: 1В/м=1Н/Кл.

В векторном анализе градиентом некоторой скалярной величины j называют вектор, направление которого совпадает с направлением быстрейшего увеличения величины j. По определению ,
где - орты (единичные векторы, направленные вдоль осей координат). Значок grad подразумевает, что в левой части этого выражения стоит векторная величина.

Напряженность электрического поля можно выразить следующим образом: .

Из (1.13) получаем , где E_l - проекция вектора напряженности на направление dl. Проинтегрировав данное выражение, найдем разность потенциалов между точками 1 и 2:

(1.14)

Геометрическое место точек одинакового потенциала называют эквипотенциальной поверхностью. При перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности работа не совершается, так как потенциальная энергия заряда не меняется. А это означает, что заряд перемещается перпендикулярно действующей силе.

Таким образом, эквипотенциальные поверхности ориентированы перпендикулярно линиям напряженности электростатического поля. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эквипотенциальные поверхности дают эквипотенциальные линии (рис. 1.11). Так как напряженность поля направлена в сторону убыли потенциала, то

j₁ > j₂ > j₃.

Эквипотенциальные линии, как и линии напряженности, гуще там, где напряженность поля выше (вблизи зарядов).

Зная связь между напряженностью и потенциалом, легко найти выражение для разности потенциалов двух точек в поле заряженной плоскости. Используя формулу (1.15) и то обстоятельство, что напряженность поля во всех точках имеет одинаковое значение, получим:

(1.15)

Здесь r₁ и r₂ - кратчайшие расстояния точек до заряженной поверхности (вдоль силовой линии).

Разность потенциалов между двумя точками внутри шара равна

или . (1.16)

В левой части этих выражений изменен знак разности потенциалов, поэтому перед интегралом нет знака (-). Разность потенциалов между двумя точками вне шара может быть найдена по формуле для потенциала точечного заряда (1.12).

Разность потенциалов вне сферы определяется, как и в предыдущем случае, по формуле для потенциала точечного заряда (1.12):

. (1.17)

Положив r₁=R, r₂= ∞, найдем потенциал поверхности сферы:

(1.18)

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r₁ и r₂ от оси заряженного цилиндра, равна:

(1.19)