Случайные величины

Определение: Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от множества случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z,…, а их возможные значения буквами x,y,z,…. Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина принимает конечное или счетное множество значений, а всевозможные значения непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый интервал.

Исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон ее распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: ряд распределения; функция распределения; многоугольник распределения. Законы распределения непрерывной случайной величины: функция распределения F(х), плотность распределения f (х).

Некоторые часто встречающиеся формулы:

F(х)= Р (Х <х) (9)

f (x) = F^'(х) (10)

(11)

P(α <Х < β)=F(β)-F(α) (12)

Р(α<х<β)= f (x)dx, (13)

Числовые характеристики случайной величины позволяют выразить в сжатой форме существенные особенности распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины (случай конечного множества значений) математическое ожидание определяется по формуле:

М(х)=х₁ р₁ +х₂ р₂ + ……+х _n p_n, (14)

дисперсия (рабочая формула)

D(x)=M(x²)- (15)

среднее квадратическое отклонение

σ(Х) = . (16)

Для непрерывной случайной величины: математическое ожидание

М(Х)= хf(x)dx (17)

дисперсия (рабочая формула)

D(X)= x2f(x)dx-

(18)

cреднее квадратическое отклонение

σ(Х)= . (19)

Задача 8. Монета брошена три раза. Составить ряд распределения вероятностей случайной величены Х – числа выпадений герба. Построить многоугольник распределения случайной величины Х, найти функцию распределения F(X) и построить ее график. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Решение: Вероятность появления герба в каждом испытании (бросании монеты) равна р= , следовательно, вероятность непоявления герба q можно определить по формуле q= 1– р, то есть q= 1 – = . При трех бросаниях монеты герб может совсем не появиться, либо появиться один раз, два, либо три раза. Таким образом, возможные значения величины Х: х₀= 0; х₁= 1; х₂= 2; х₃ =3.

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли (10) при т= 0,1,2,3.

Р(Х= 0 )=Р₃( 0 )=С⁰₃ р⁰q³=()³= ;

Р(Х= 1 )=Р₃( 1 )=С¹₃ р¹q² = ()¹()²= ;

Р(Х= 2 )=Р₃(2)=С²₃ р²q¹ = ()² = ;

Р(Х= 3 )=Р₃( 3 )=С³₃ р³q⁰ = ()³= ;

Запишем искомый закон биноминального распределения в виде распределения (таблица 1).

Таблица 1

xi
pi

Рис.1. Многоугольник распределения

В целях контроля вычислений сложим вероятности всех возможных значений p_i= + + + = 1(что и следовало ожидать).

Построим многоугольник распределения (рис.1).

Составим функцию распределения F(X):

1. < х ≤0, F(x)= 0,

2. 0< x ≤1, F(x)= P(X=x_i)=P(X= 0 )= ,

3. 1< x ≤2, F(x)= P(X=x_i)= Pi= + = ,

4. 2< x ≤3, F(x)= P(X=x_i)= Pi= + + = ,

5. 3< x≤ +∞, F(x)= P(X=x_i)= Pi= + + + =1.

Или:

0 при -∞ <x≤ 0;

при 0 <x≤ 1;

F(x)= при 1 <x≤ 2;

при 2 <x≤ 3;

1 при 3 <x≤ +∞.

Рис. 2. График функции распределения

Составленную функцию распределения изобразим графически (рис. 2).

Найдем математическое ожидание М(Х):

М(Х)= x_i p_i= 0 +1 +2 +3 = .

Найдем математическое ожидание М(Х²):

М(Х²)= x_i² p_i =0² +1² +2² +3² =3.

Найдем дисперсию Д(Х)=М(Х²) – = 3 – ()²= ,

Среднее квадратическое отклонение равно: σ(х)= = = ≈ 0,87.

Задача 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.

Найти: а) вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х окажется в пределах промежутка (0;1); б) плотность распределения вероятностей f(x), построить графики F(x), f(x); в) математическое ожидание М(Х), дисперсию Д(Х) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

Решение: а) Пользуясь формулой Р(α<X<β)=F(β)-F(α), найдем Р(0<X<1)= F(1)–F(0)= .

б) По формуле f(x) = F'(x) находим:

.

в) Найдем математическое ожидание по формуле: М(Х)= .

М(Х)= = + + = = = = .

Для вычисления дисперсии Д(Х) воспользуемся формулой Д(Х)= М(Х²)- . Вычислим М(Х²):

М(Х²)= = + + = = =

= =1.

Д(Х)= М(Х²)– =1- .

Среднее квадратическое отклонение σ(Х) вычисляем по формуле:

σ(Х)= , σ(Х)= .