Скінченно-різницевий метод

Скінченно-різницевий метод (метод скінченних різниць) полягає в заміні диференціальних рівнянь різницевими (дискретними) рівняннями, які називають різницевою схемою.

Для побудови різницевої схеми множина, на якій розглядається задача (відрізок), заміняється дискретною множиною точок (сіткою). Значення функцій, похідних, початкові і граничні умови подають через значення дискретних (сіткових) функцій у вузлах вибраної сітки, тобто здійснюється заміна диференціального оператора різницевим, а також будуються різницеві аналоги всіх додаткових умов. Отже, задача зводиться до розв'язування системи алгебраїчних рівнянь.

Однин із способів побудови різницевих схем полягає у тому, що всі похідні, які входять у диференціальне рівняння та крайові умови, заміняються деякими різницевими відношен­нями. Для цього використовують формули чисельного диференціювання.

На відрізку побудуємо рівномірну сітку та замінимо диференціальний оператор першого порядку відповідними різницевими похідними:

– похідна зліва;

– похідна справа;

– центральна похідна.

Для диференціального рівняння другого порядку введемо різницеву похідну наступним чином:

Похибкою апроксимації оператора оператором називають різницю

Кажуть, що має p-й порядок апроксимації в точці , якщо

Якщо , то ліва і права різницеві похідні апроксимують з першим порядком, а якщо , то центральна різницева похідна – з другим порядком, якщо , то має другий порядок апроксимації.

Приклад 1. Знайти розв’язок крайової задачі в точках , h = 0,1, за допомогою скінчено-різницевого методу

Розв’язання. Побудуємо на відрізку [0; 1] сітку. Для цього виберемо крок . Тоді будемо мати Замінимо похідні в диференціальному рівнянні та крайових умовах різницевими похідними. Отримаємо у внутрішніх точках

а на кінцях будемо мати

Підставимо ці похідні в задане рівняння

та в крайові умови

Складемо систему рівнянь

Розв’язавши систему одним з відомих методів, отримаємо розв’язок задачі

Для досягнення більшої точності слід зменшити крок.