Линии второго порядка

Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду, определить тип этой линии и начертить ее.

Вариант 1.

x ² – 2 xy + y ²–10 x – 6 y + +25 = 0

Вариант 2.

xy + x + y = 0

Вариант 3.

5 x ² + 8 xy +5 y ² –18 x –18 y + 9 = 0

Вариант 4.

5 x ² + 6 xy +5 y ² – 16 x –16 y – 16 = 0

Вариант 5.

x ² + 2 xy + y ²–8 x + 4 = 0

Вариант 6.

5 x ² + 4 xy +8 y ² – 32 x –56 y + 80 = 0

Вариант 7.

5 x ² + 12 xy –22 x – 12 y– 19 = 0

Вариант 8.

4 x ² – 12 xy+ 9 y ² – 2 x+ 3 y – 2 = 0

Вариант 9.

4 xy + 3 y ²+16 x + 12 y– 36 = 0

Вариант 10.

2 x ² + 4 xy +5 y ² – 6 x –8 y – 1 = 0

Вариант 11.

x ² – 2 xy + y ²–10 x – 6 y + +25 = 0

Вариант 12.

xy + x + y = 0

Вариант 13.

5 x ² + 8 xy +5 y ² –18 x –18 y + 9 = 0

Вариант 14.

5 x ² + 6 xy +5 y ² – 16 x –16 y – 16 = 0

Вариант 15.

x ² + 2 xy + y ²–8 x + 4 = 0

Вариант 16.

5 x ² + 4 xy +8 y ² – 32 x –56 y + 80 = 0

Вариант 17.

5 x ² + 12 xy –22 x – 12 y– 19 = 0

Вариант 18.

4 x ² – 12 xy+ 9 y ² – 2 x+ 3 y – 2 = 0

Вариант 19.

4 xy + 3 y ²+16 x + 12 y– 36 = 0

Вариант 20.

2 x ² + 4 xy +5 y ² – 6 x –8 y – 1 = 0

Квадратичные формы.

1. Привести квадратичную форму F (x,y,z) к каноническому виду.

2. Определить знакоопределенность квадратичной формы.

Вариант 1.

F (x, y, z) = 4 x ² + 6 y ²+4 z ² + 4 xz – 8 y –4 z + 3

Вариант 2.

F (x, y, z) = x ² + 5 y ²+ z ² + 2 xy + 6 xz +2 yz –2 x + 6 y –10 z

Вариант 3.

F (x, y, z) = x ² + y ²–3 z ² – 2 xy – 6 xz –6 yz + 2 x + 2 y + 4 z

Вариант 4.

F (x, y, z) = x ² – 2 y ²+ z ² + 4 xy – 8 xz – 4 yz– 14 x – 4 y + 14 z + 16

Вариант 5.

F (x, y, z) = 2 x ² + y ²+2 z ² – 2 xy – 2 xz + x– 4 y – 3 z + 2

Вариант 6.

F (x, y, z) = x ² – 2 y ²+ z ² + 4 xy – 10 xz +4 yz + x + y – z

Вариант 7.

F (x, y, z) = 2 x ² + y ²+2 z ² – 2 xy – 2 xz +4 x – 2 y

Вариант 8.

F (x, y, z) = x ² + y ²–4 z ² + 2 xy + 4 xz +4 yz – 6 z + 1

Вариант 9.

F (x, y, z) = 4 xy +2 x + 4 y – 6 z – 3

Вариант 10.

F (x, y, z) = xy + xz+ yz + 2 x + 2 y – 2 z

Вариант 11.

F (x, y, z) = 4 x ² + 6 y ²+4 z ² + 4 xz – 8 y –4 z + 3

Вариант 12.

F (x, y, z) = x ² + 5 y ²+ z ² + 2 xy + 6 xz +2 yz –2 x + 6 y –10 z

Вариант 13.

F (x, y, z) = x ² + y ²–3 z ² – 2 xy – 6 xz –6 yz + 2 x + 2 y + 4 z

Вариант 14.

F (x, y, z) = x ² – 2 y ²+ z ² + 4 xy – 8 xz – 4 yz– 14 x – 4 y + 14 z + 16

Вариант 15.

F (x, y, z) = 2 x ² + y ²+2 z ² – 2 xy – 2 xz + x– 4 y – 3 z + 2

Вариант 16.

F (x, y, z) = x ² – 2 y ²+ z ² + 4 xy – 10 xz +4 yz + x + y – z

Вариант 17.

F (x, y, z) = 2 x ² + y ²+2 z ² – 2 xy – 2 xz +4 x – 2 y

Вариант 18.

F (x, y, z) = x ² + y ²–4 z ² + 2 xy + 4 xz +4 yz – 6 z + 1

Вариант 19.

F (x, y, z) = 4 xy +2 x + 4 y – 6 z – 3

Вариант 20.

F (x, y, z) = xy + xz+ yz + 2 x + 2 y – 2 z

1.2. Типовые аттестационные работы

Типовая аттестационная работа № 1

1. Координатная, матричная и векторная формы записи СЛАУ. Дать определение решения СЛАУ. Общее и частное решения СЛАУ.

2. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

3. Решить матричное уравнение:

4. Исследовать и найти решение (если оно существует) системы линейных уравнений:

Типовая аттестационная работа № 2

1. Векторное и смешанное произведение векторов.

2. Выяснить, являются ли векторы a =(2,-1,3), b (1,4,-1), c (0,-9,5) линейно зависимыми.

3. Векторы e₁, e₂, e₃ и х заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторы e₁, e₂, e₃ сами образуют базис, и найти координаты вектора х в этом базисе.

4. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А =

Типовая аттестационная работа № 3

1. Определить тип кривой по заданному уравнению, привести к каноническому виду и построить кривую, найти координаты фокусов. Для эллипса и гиперболы определить эксцентриситет, составить уравнения асимптот для гиперболы; для параболы найти значение параметра, составить уравнения директрисы:

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(2,-4,3) перпендикулярно ее радиусу вектору ОМ.

1.3. Вопросы к экзамену

1.Матрицы, их классификация, сложение матриц и умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы, свойства операций над матрицами.

2.Элементарные преобразования матриц и матрицы элементарных преобразований, теорема о приведении произвольной матрицы к верхней трапециевидной форме.

3.Определитель и след квадратной матрицы, свойства определителей.

4.Ортогональная матрица, теорема об определителе ортогональной матрицы.

5.Линейные операции над геометрическими векторами и их свойства.

6.Линейное пространство, подпространство линейного пространства, линейное многообразие, линейная оболочка, сумма и пересечение подпространств, изоморфизм линейных пространств.

7.Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл.

8.Базис и размерность линейного пространства, координаты вектора.

9.Ранг матрицы, теорема о базисном миноре, инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований.

10. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат.

11. Проекции геометрического вектора на плоскости и в пространстве.

12. Скалярное, векторное и смешанное произведения геометрических векторов.

13. Преобразование аффинной и прямоугольной декартовой системы координат.

14. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

15. Системы линейных уравнений: основные определения, каноническая форма записи системы линейных алгебраических уравнений.

16. Система линейных уравнений с квадратной невырожденной матрицей, правило Крамера.

17. Элементарные преобразования системы линейных алгебраических уравнений.

18. Исследование и решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного исключения неизвестных Жордана – Гаусса.

19. Геометрические свойства решений системы линейных уравнений.

20. Поиск базисных решений, общего решения и фундаментального решения системы линейных алгебраических уравнений.

21. Обратная матрица: определение, свойства, условие существования.

22. Обращение матрицы методом Жордана.

23. Прямая, различные виды уравнений прямой на плоскости и плоскости в пространстве.

24. Взаимное расположение прямых на плоскости и плоскостей в пространстве, Прямая на плоскости и плоскость в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат.

25. Прямая в пространстве, взаимное расположение прямых в пространстве.

26. Комплексные числа и операции над ними.

27. Многочлены, деление многочленов, корни многочлена, теорема Безу.

28. Эллипс, гипербола, парабола, их канонические уравнения и свойства.

29. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости, характеристический многочлен, метод вращений.

30. Классификация линий второго порядка на плоскости, каноническое уравнение, метод Лагранжа.

31. Евклидовы пространства, длина вектора и ее свойства.

32. Ортогональные векторы, ортогональный и ортонормированный базис линейного пространства, процесс ортогонализации.

33. Линейный оператор и его матрица, свойства линейного оператора.

34. Произведение линейных операторов, образ и ядро линейного оператора, обратный оператор.

35. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

36. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.

37. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.

38. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.

1.4. Типовой экзаменационный билет по дисциплине «Линейная алгебра»

1. Дать определение обратной матрицы. Сформулировать теорему о её единственности (2 б.).

2. Метод определителей нахождения единственного решения системы линейных уравнений (формулы Крамера) (3 б.).

3. Найти ранг матрицы при различных значениях параметра : (5 б.).

4. Исследовать и найти решение (если оно существует) системы линейных уравнений:

(5 б.).

5. Даны две точки: А(2,3) и В(-1,0). Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно отрезку АВ (5 б.).