Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника







Методы расчета надежности невосстанавливаемых систем





При расчете вероятности безотказной работы, средней на­работки до возникновения первого отказа элементы системы рассматриваются как невосстанавливаемые. В этом случае, если структура системы сводится к основному или резервному соединению элементов, при условии, что работа одного из па­раллельно соединенных элементов обеспечивает работоспособ­ное состояние системы, показатели безотказности последней определяются по показателям безотказности элементов с ис­пользованием классического метода расчета надежности.

Поскольку при основном соединении элементов (см. рис.9) работоспособное состояние системы имеет место при совпадении работоспособных состояний всех элементов, то вероятность этого состояния системы определяется произведе­нием вероятностей работоспособных состояний всех элементов.

Если система состоит из n последовательно включенных элементов, то при вероятности безотказной работы каждого из элементов вероятность безотказной работы системы

(3.1)

При параллельном соединении элементов и при условии, что для работы системы достаточно работы одного из вклю­ченных параллельно элементов, отказ системы является сов­местным событием, имеющим место при отказе всех парал­лельно включенных элементов. Если параллельно включены m элементов (см. рис. 3.10) и вероятность отказа каждого , то вероятность отказа этой системы

(3.2)

Если структурная схема надежности системы состоит из последовательно и параллельно соединенных элементов, то расчет ее надежности может быть произведен с использовани­ем (3.1), (3.2). Так, для системы, структурная схема надеж­ности которой представлена па рис. 3.1, вероятность безот­казной работы

Чтобы определить значение средней наработки системы до отказа и другие показатели надежности, требуется знать зако­ны распределения времени безотказной работы элементов (на­работки до отказа) системы. Поскольку на участке нормаль­ной эксплуатации с удовлетворительной точностью в качестве закона распределения времени безотказной работы элементов может быть принят экспоненциальный, то при основном соеди­нении элементов, если выражение (3.1) примет следующий вид:

(3.3)

где .

Таким образом, при основном соединении элементов, имею­щих экспоненциальный закон распределения времени безотказ­ной работы, закон распределения времени безотказной рабо­ты системы также будет экспоненциальным, в соответствии с этим, согласно (1.11) – (1.15), имеем

(3.4)

При резервном соединении m элементов, имеющих экспо­ненциальный закон распределения времени безотказной рабо­ты, вероятность отказа группы параллельно включенных эле­ментов

(3.5)

Если все элементы равнонадежны и , то

Таким образом, при резервном соединении элементов экс­поненциальный закон распределения времени безотказной ра­боты не сохраняется.

Рассмотренный метод расчета широко применяют для оценки надежности локальных систем и элементов, входящих в их состав. На стадии проектирования при известных интенсивностях отказов элементов оценивают вероятность безотказ­ной работы системы и предусматривают мероприятия, направ­ленные на ее повышение и заключающиеся в резервировании наименее надежных и наиболее ответственных элементов, об­легчении условий эксплуатации, снижении уровня нагрузки и др.

Анализируют надежность на стадии проектирования обыч­но в несколько этапов. На первом этапе, проводимом на ста­дии составления технического задания на локальную систему или отдельное техническое средство, когда их структуры еще не определены, производится прикидочная оценка надежности. Она исходит из априорной информации о надежности близких по характеру систем и элементов, с помощью которых они мо­гут быть реализованы. На втором этапе проводится ориенти­ровочная оценка надежности. При этом известны структура системы и входящие в ее состав элементы, их показатели на­дежности, заданные при нормальных (номинальных) условиях эксплуатации.

Окончательный расчет надежности технических средств, иногда называемый коэффициентным, проводится на стадии завершения технического проекта, когда проведена эксплуа­тация опытных образцов устройства и известны условия экс­плуатации всех элементов. Последние определяются уровнем нагрузок, характером изменения таких влияющих величин, как температура окружающей и регулируемой среды, уровень виб­рации, колебания напряжения питания и частоты, колебания влажности и др. Учет этих величин позволяет произвести кор­рекцию значений интенсивностей отказов элементов. Так, их работа при пониженных нагрузках приводит к снижению ин­тенсивностей отказов.

Влияние отклонения этих величин на интенсивность отказов учитывают путем использования поправочных коэффициен­тов :

(3.6)

где – номинальное значение интенсивности отказов, соот­ветствующее нормальным условиям эксплуатации; – поправочные коэффициенты, учитывающие отклонения влияющих величин от нормальных значений.

Следует отметить, что достоверные данные по поправочным коэффициентам известны только для радиоэлектронных эле­ментов, что позволяет производить окончательный расчет структурной надежности устройств, включающих эти элемен­ты. По общепромышленным средствам АСУ ТП эти данные в подавляющем большинстве случаев отсутствуют. Последнее в значительной мере определяется разнообразием условий эксплуатации устройств в различных отраслях промышленности и сложностью получения этих данных.

Во многих случаях рассмотренный выше способ расчета надежности не может быть использован, так как не всегда схема надежности содержит последовательно-параллельное соединение элементов.

Существуют несколько разновидностей классического мето­да расчета надежности систем со сложной структурой, часть из которых будет рассмотрена ниже применительно к анализу надежности мостиковой схемы, изображенной на рис. 3.4. (Эта схема не сводится к последовательно-параллельному соедине­нию элементов.)

Р и с. 14. Мостиковая схема соединения элементов

Для всех элементов схемы известны вероятности безотказной работы и соответствующие им ве­роятности отказа типа «обрыв» Необходимо определить вероятность наличия цепи между точками a и b схемы.

Метод перебора состояний. Расчету надежности любой си­стемы независимо от используемого метода предшествует определение двух непересекающихся множеств состояний эле­ментов, соответствующих работоспособному и неработоспособ­ному состояниям системы. Каждое из этих состояний характе­ризуется набором элементов, находящихся в работоспособном и неработоспособном состояниях. Поскольку при независимых отказах вероятность каждого из состояний определяется произведением вероятностей нахождения элементов в соответст­вующих состояниях, то при числе состояний, равном n, веро­ятность работоспособного состояния системы

(3.7)

вероятность отказа

(3.8)

где m – общее число работоспособных состояний, в каждом j-ом из которых число исправных элементов равно , а вышед­ших из строя – .

Расчет с использованием метода перебора состояний удоб­но представить в виде таблицы (таблица 3.1), где знаком плюс отмечены работоспособные состояния, а знаком минус – неработоспо­собные.

Из рассмотренного примера видно, что даже при сравни­тельно простой структуре применение метода перебора состоя­ний сопряжено с громоздкими выкладками.

 

 

Таблица 3.1

Номер состояния Состояние элементов Вероятность состояний
+ + + + +
- + + + +
+ - + + +
+ + - + +
+ + + - +
+ + + + -
- + - + +
- + + - +
- + + + -
+ - - + +
+ - + - +
+ - + + -
+ + - + -
+ + + - -
- + - + -
+ - + - -

 

Метод разложения относительно особого элемента. Этот метод основан на использовании формулы полной вероятности. В сложной системе выделяется особый элемент, все воз­можные состояния которого образуют полную группу, . Если анализируемое состояние системы А, то его вероятность

(3.9)

Второй сомножитель в (3.9) определяет вероятность состоя­ния А при условии, что особый элемент находится в состоянии . Рассмотрение -го состояния особого элемента как безус­ловного позволяет упростить структурную схему надежности и свести ее к последовательно-параллельному соединению эле­ментов.

Так, в рассматриваемой мостиковой схеме выделение эле­мента 5 в качестве особого с двумя возможными состояниями ( 1–наличие и 2–отсутствие цепи) , позволяет от структурной схемы, представленной на рис.14, перейти при безусловно исправном состоянии элемента 5 к схе­ме, представленной на рис.15,а. При отказе элемента 5 струк­турная схема имеет вид, представленный на рис.15,б.

Р и с. 15. Структурные схемы мостикового соединения элементов,

соответствующих наличию (а) цепи в элементе 5 и её отсутствию (б)

 

Если состояние А – наличие цепи между a и b, то в соответствии с (3.1) и (3.2) имеем: ,

Сопоставление обоих методов расчета надежности показы­вает, что выделение особого элемента с последующим анали­зом упрощенных структурных схем существенно сокращает выкладки.

Используя формулу полной вероятности и производя по­следовательное выделение особых элементов, можно проана­лизировать сложные системы, имеющие перекрестные связи. Так, вероятность безотказной работы двойной мостиковой схе­мы (рис. 16)

 

Р и с. 16. Двойная мостиковая схема соединения элементов

Метод минимальных путей и сечений. В ряде случаев для анализа надежности сложной системы бывает достаточным определить граничные оценки надежности сверху и снизу.

При оценке вероятности безотказной работы сверху опре­деляют минимальные наборы работоспособных элементов (пу­тей), обеспечивающих работоспособное состояние системы. При формировании пути, считая, что все элементы находятся в не­работоспособном состоянии, последовательным переводом эле­ментов в работоспособное состояние производят подбор вариантов соединений элементов, обеспечивающих наличие цепи.

Набор элементов образует минимальный путь, если исключе­ние любого элемента из набора приводит к отказу пути. Из этого вытекает, что в пределах одного пути элементы находят­ся в основном соединении, а сами пути включаются парал­лельно. Так, для рассмотренной мостиковой схемы (см. рис.14) набор минимальных путей представлен на рис.17.

Р и с. 17. Набор минимальных путей

 

Поскольку один и тот же элемент включается в два парал­лельных пути, то в результате расчета получается оценка без­отказности сверху:

При определении минимальных сечений осуществляется подбор минимального числа элементов, перевод которых из ра­ботоспособного состояния в неработоспособное вызывает отказ системы. При правильном подборе элементов сечения возвра­щение любого из элементов в работоспособное состояние вос­станавливает работоспособное состояние системы. Поскольку отказ каждого из сечений вызывает отказ системы, то первые соединяются последовательно. В пределах каждого сечения элементы соединяются параллельно, так как для работы систе­мы достаточно наличия работоспособного состояния любого из элементов сечения.

Схема минимальных сечений для мостиковой схемы приве­дена на рис. 18.

Р и с. 18. Набор минимальных сечений

 

Поскольку один и тот же элемент включается в два сечения, то полученная оценка является оценкой снизу

При составлении минимальных путей и се­чений любая система преобразуется в структуру с параллель­но-последовательным или последовательно-параллельным сое­динением элементов.

Логико-вероятностные методы анализа надежности. Логико-вероятностный метод получил широкое распространение при расчете надежности подсистем АСУ ТП, особенно применительно к системам защиты и логического управления. Теоретической основой этого метода является математическая логика (булева алгебра), которая оперирует с логически­ми выражениями, имеющими значения «истинно» (1) или «ложно» (0). Ло­гические выражения y являются функциями логических переменных , каждая из которых также имеет значение 0 или 1. Из n переменных может быть образовано наборов и логических функций.

Логические функции образуются с помощью трех основных операций: логического отрицания ( ), сложения (конъюнкция, И), обозначаемого зна­ком «+» или , и умножения (дизъюнкция, ИЛИ), обозначаемого «·» или . Обозначения этих операций на схемах представлены на рис. 19.

Р и с. 19. Условные обозначения логических операций

 

Для преобразования алгебраических выражений используются следующие тождества и законы математической логики:

закон коммутативности:

закон ассоциативности:

закон дистрибутивности:

закон дуальности (инверсии, Де-Моргана):

закон поглощения:

 

Логические функции, которые применительно к задачам надежности принято называть функциями работоспособности (надежности), могут задаваться в словесной форме, таблицами истинности, алгебраическими выраже­ниями или графиками.

В качестве примера рассмотрим функцию работоспособности системы, состоящей из трех элементов и заданной таблицей истинности. Этой таблице (таблица 3.2) соответствует схема включения элементов, представленной на рис. 20.

Таблица 3.2

 

Р и с. 20. Схема соединения логических элементов

 

Для записи функции работоспособности в алгебраической форме используется одно из следующих выражений:

(3.10)

или

, , (3.11)

где – значение функции работоспособности для соответствующей строки, 0 или 1; – конъюнкция набора элементов i-ой строки, так, ; – дизъюнкция элементов i-ой строки, причём при имеем , при .

Представление функции работоспособности в виде (3.10), включающем в каждую дизъюнкцию конъюнкции всех элементов, называют совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), а в виде (3.11) – совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Для системы, заданной рассмотренной таблицей истинности, функция работоспособности в СДНФ имеет вид

(3.12)

Функции работоспособности, записанные в СДНФ и СКНФ, не являются минимальными. Для минимизации функции работоспособности и приведения ее к бесповторной форме могут быть непосредственно использованы вышеприведенные тождества и законы. Для минимизации функции объединяют члены, различающиеся состоянием только одного элемента:

;

;

Функция работоспособности в бесповторной форме имеет вид

(3.13)

Функция работоспособности в СКНФ в соответствии с (3.11) имеет вид

Так как , то

(3.14)

Для минимизации функции перемножим члены, стоящие в первой и второй, третьей и четвертой скобках. Учитывая, что получаем

В соответствии с теоремой о поглощении из первой скобки уходят все конъюнкции, включающие и , а из второй скобки :

(3.15)

Выражение (3.15) путем проведения несложных преобразований сводит­ся к дизъюнктивной форме (3.13).

Для записи функции работоспособности в минимальной бесповторной дизъюнктивной форме могут быть использованы минимальные пути, а в конъюнктивной форме – минимальные сечения.

Сопоставляя функции работоспособности в СДНФ и СКНФ, видим, что в них входят наборы из таблицы истинности, соответствующие и . При расчете выбирают ту форму записи, которой соответствует меньшее чис­ло членов в (3.10) и (3.11).

При числе переменных более трех таблицы истинности становятся громоздкими и непосредственная минимизация функции работоспособности ста­новится затруднительной. Для снижения размерности задачи выполняют де­композицию функции работоспособности, опирающуюся на теорему разложе­ния математической логики. Разложение функции можно производить отно­сительно любой из переменных:

(3.16)

Переход от алгебраической формы записи работоспособности к вероятностной, определяющей вероятность истинности этой функции, осуществляет­ся простой заменой на , если независимы и несовместны. При этих условиях вероятность события , заключающегося в появлении или , имеющих вероятности и , записывают как: , а вероятность их совместного появления .

Если слагаемые в функции работоспособности содержат одинаковые сомножители и события являются совместными, то при переходе к вероятностной форме используется формула разложения булевой функции (3.16) и формула расчета вероятности суммы совместных случайных собы­тий:

(3.17)

Например, если , то

,

если , то

Использование формулы разложения булевой функции позволяет сделать слагаемые функции работоспособности несовместными, что упрощает переход к вероятностной форме.

Набору минимальных путей для мостиковой схемы, представленному на рис. 17, соответствует функция работоспособности вида . При разложении функции относительно пятого элемента она принимает вид

(3.18)

тогда .

Выражение (3.18) совпадает с полученным выше выражением вероятно­сти безотказной работы мостиковой схемы, рассчитанным по методу разложе­ния относительно особого элемента. Используя разложение по и для (3.12), получаем

,

поскольку и , то

.

При получаем

(3.19)

При зависимых событиях , и переход к вероятностной форме связан с использованием условной вероятности

Рассмотренный метод анализа надежности применим к системам, элементы которых могут находиться только в двух состояниях: работоспособном и неработоспособном. Этот метод трудно использовать при наличии нескольких разновидностей обоих состояний.

Логико-вероятностные методы широко применяют в диагностических процедурах при построении деревьев отказов и определении базисных (исходных) событий, вызывающих отказ системы. Существуют машинные методы построения деревьев отказа, расчета по ним минимальных путей и сечений.

 








Date: 2015-07-10; view: 529; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2017 year. (0.021 sec.) - Пожаловаться на публикацию