Алгоритм решения задач по теме

1.

Дано:

Δ АВС; ∠ С = 90 º;

Угол между ВС и α = 30 º

Найти двугранный угол с ребром АВ.

Решение:

1. Строим линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

СО α; CD – наклонная к плоскости α;

OD АВ (по построению);

СВ АВ (по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно ∠СDО – линейный угол двугранного угла с ребром АВ).

∠ СВО – угол наклона ВС к плоскости α.

Пусть СО = α;

1.

Рассмотрим ΔСОВ: ∠В=30 º; СВ = 2а (свойство катета, лежащего против угла в 30 º).

Рассмотрим ΔACD: S_Δ = 0,5*АС*СВ = 0,5*2а*2а=2а²

S_Δ = 0,5*АВ*СD;CD=2* S_Δ/АВ

АВ =√АС²+СВ² = √4а²+4а² = √8а² = 2а√2

;

3. ;

Ответ: ∠CDO=45º

2.

Дано:

Δ АВС;

АВ=АС=ВС=4см;

МО=2 см.

Найти: 1. Угол между (ВМС) и (АВС)

2.Угол между МС и (АВС)

Решение:

Так как точка М равноудалена от всех сторон треугольник АВС, то ее проекцией на плоскость (АВС) является центр вписанной окружности, следует ОК=ON = OL =r;

ОК ВС (радиус, проведенный в точку касания); ОМ (АВС);

МК – наклонная к (АВС);

ОК = пр. _(АВС) МК; ОК ВС следует, что МК ВС следует,что ∠ МКО – линейный угол двугранного угла МСВО.

2)Рассмотрим Δ МОК;

		К
	О

;

;

∠ МКО= 60º

3) Угол между МС и плоскостью (АВС) равен углу МСО.

ОС=R; R=2r;

Ответ: ∠ МКО= 60º;

Варианты заданий для самостоятельной работы

Вариант № 1

1) Дан прямоугольник АВСD и точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC, если:

SB (АВС)

О – точка пересечения диагоналей, SO (АВС).

2) Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α, проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ1. Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α, если АВ =2 см.; ∠ ВАС = 150º; и двугранный угол ВАСВ1 = 45 º.

Вариант № 2

1) ABCD - ромб; BD=8см; двугранный угол с ребром BD = 45º. Найти площадь ромба.

2) В параллелограмме ABCD ∠АDC=150º; АD=16см; DC=12см; SC (АВС); SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Вариант № 3

1) Дан куб ABCDА1В1С1D1; (ABCD – нижнее основание). Найдите величину угла между плоскостью грани АВВ1А1 куба и плоскостью, проходящего через диагональ АВ1 этой грани и середину ребра DC куба.

2) Плоскость α проходит через сторону АС треугольника АВС под углом 30º к плоскости треугольника. Найти расстояние от вершины В до плоскости α, если ВС = 6 см; ∠С=120º.

Вариант № 4

1) В тетраэдре DABC все ребра, кроме АВ, имеют равные длины. ∠АСВ=90º. Найдите величину двугранного угла при ребре ВС.

2) Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BACD =90º. Найдите сторону ромба, если ∠BAD=45º и расстояние от точки В до плоскости ADM = 4√3см.

Вариант № 5

1) Найти величину двугранного угла с ребром АС, если:

а) BS (ABC); ∠ C=90º; BC= BS=6см.

б) BS (ABC); АВ=ВС=10см; BS=АС=12см.

2) ABCD – прямоугольник. S=48см² ; DC=4см; OS (АВС); OS=6см. найти величину двугранного угла с ребром DC.

Вариант № 6

1) Дан прямоугольник ABCDи точка S не лежит в его плоскости. Построить линейный угол двугранного угла с ребром DC если: SB (АВС); О – точка пересечения диагоналей, прямая SO (АВС).

2) Точка М равноудалена от всех сторон правильного треугольника АВС, сторона которого 4см. Расстояние от точки М до плоскости (АВС) равно 2 см. Найдите угол между плоскостью (ВМС) и плоскостью (АВС) и угол между МС и плоскостью (АВС).

6. Решение стереометрических задач на тему «Двугранный угол»

1) Грань ABCD прямоугольного параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 является квадратом со стороной 3, а пространственная диагональ параллелепипеда равна . Найдите угол между плоскостью A1B1C1D1 и плоскостью ADC1

Дано: - прямоугольный параллелепипед

ABCD – квадрат

AB=3

B₁D=

Найти угол между плоскостями (A1B1C1D1) и (ADC1)

Решение

Двугранный угол С₁ADC. Строим его линейный угол. ; - наклонная к плоскости ; (стороны квадрата) по теореме, обратной теореме о трёх перпендикулярах , значит - линейный угол двугранного угла .

Ответ:

2) Диаметр и хорда AB основания конуса равны соответственно 26 и 24, тангенс угла между образующей и основанием конуса равен 8. Найдите тангенс угла между плоскостью основания конуса и плоскостью сечения конуса, проходящей через вершину конуса и хорду AB.

Дано: SAC – конус

AC=26

AB=24

Найти:

Решение

1)

		B

- медиана на .

;

Ответ:

3) Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 – ромб ABCD со стороной, равной 7. Площадь ромба равна 28. Тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ABC1 равен 2,75. Найдите длину бокового ребра призмы.

Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольная призма

ABCD – ромб.

AB=7.

S ромба=28.

Найти: DD₁

Решение

1) Проведём тогда (по теореме о трёх перпендикулярах), тогда - линейный угол двухгранного угла C₁ABC.

2)

3)

Ответ: .

4) Высота прямой призмы ABCA1B1C1 с основанием ABC равна 12. Угол между прямыми BC1 и AC равен 90º, а синус угла между прямыми A1B и AC равен . Найдите тангенс угла между плоскостью BC1A и плоскостью ABC, если A1B равно 13.

Дано:

ABCA1B1C1 – прямая призма

АА1=12

Найти:

Решение

Прямые DC1 и AC – скрещивающиеся.

Прямые A1B и AC – скрещивающиеся.

Двугранный угол C1ABC. Строим его линейный угол.

C1K – наклонная;

(по построению) по теореме о трёх перпендикулярах - линейный угол двугранного угла .

1

2)

			K 1

Ответ: